Bewijs ivm 4 punten vormen een bol

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Michiel123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 01 mei 2014, 10:34

Bewijs ivm 4 punten vormen een bol

Bericht door Michiel123 » 01 mei 2014, 10:41

Hallo

Ik ben bezig met een bewijsvoering dat 4 niet-coplanaire punten juist 1 bol vormen. Hiervoor heb ik gewerkt met 3 middelloodvlakken. Het snijpunt van deze 3 vlakken zouden dan het middelpunt van de bol moeten vormen.

Ik heb deze 3 vergelijkingen in matrix-vorm en vervolgens in determinant-vorm gezet. Als ik nu kan aantonen dat deze determinant verschilt van 0, weet ik dat er juist 1 bol gaat door de 4 gegeven punten.
De determinant ziet er als volgt uit:

a b c
d e f
g h i

Deze getallen dienen dus als richtingsgetallen van de koorden, uitgeschreven is dit de determinant

x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x2 y3-y2 z3-z2
x4-x3 y4-y3 z4-z3

De enige gegeven dat ik zou kunnen gebruiken is dat de 4 punten A, B, C, D niet-coplanair zijn. Misschien dat werken in de richting dat de richtingsgetallen van de koorden (waaruit de middelloodvlakken komen) niet gelijk mogen zijn of dergelijke...

Iemand die mij kan helpen?
Ik zou het enorm hard apreciëren en u dankbaar zijn!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Bewijs ivm 4 punten vormen een bol

Bericht door SafeX » 01 mei 2014, 11:58

Michiel123 schreef: Ik ben bezig met een bewijsvoering dat 4 niet-coplanaire punten juist 1 bol vormen. Hiervoor heb ik gewerkt met 3 middelloodvlakken. Het snijpunt van deze 3 vlakken zouden dan het middelpunt van de bol moeten vormen.
3 ptn A, B en C, niet op één lijn, bepalen een vlak. De drie middelloodvlakken bepalen een lijn van middelptn (M) loodrecht genoemd vlak. Rest nog een middelloodvlak te bepalen van één van de drie ptn met het 4e punt ...

Opm: elk punt M is middelpunt van een bol door de drie ptn A, B en C.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Bewijs ivm 4 punten vormen een bol

Bericht door op=op » 02 mei 2014, 08:34

N.B. Het probleem kan ook opgelost worden met wat meetkunde.
Veronderstel 2 verschillende middelpunten en bekijk wat driehoekjes.

Plaats reactie