Lineaire operatoren

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
wiskundemeisjes
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 12 mar 2013, 16:06

Lineaire operatoren

Bericht door wiskundemeisjes » 12 mar 2013, 16:14

Hallo,

Wij zitten met de volgende opgaven waar we niet uit komen:

Laten V en W genormeerde vectorruimten zijn (beide over R of
over C) en zij T : V -> W een begrensde lineaire operator. De norm
van T is dan gedefinieerd door:
||T|| = inf {0 <= A in R : ||Tf|| <= A ||f|| voor alle f in V }:
(a) Laat zien dat ||T f|| <= ||T|| ||f|| voor alle f in V .
(b) Laat zien dat
||T|| = sup {||T f|| : f in V; ||f|| <= 1}

Zou iemand misschien kunnen helpen?

Bij voorbaat dank

D'Anvers
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 17 apr 2013, 18:48

Re: Lineaire operatoren

Bericht door D'Anvers » 17 apr 2013, 19:43

a) Onderstel het tegenovergestelde (ik noteer I voor die norm): er bestaat een f in V zodat . Er zal een getal bestaan groter dan I zodat de gelijkheid geldt. Nu we werken in R, dus ik kan een kleine delta nemen zodat dezelfde ongelijkheid houdt voor I+delta. Ah dit betekent dat I niet de inf is. Contradictie! Dus de voorgestelde ongelijkheid is bewezen.


b) Hier gaan we gretig gebruik maken van a. neem een g, wiens norm kleiner of gelijk is aan 1. We werken even uit wat de nieuwe schrijfwijze is: dit is de kleinste bovengrens van de normen van T(f). (voor speciale f)

Nu dan weten we dat Vanwege het zelfde continuïteitsargument van hierboven zal dus het voorgestelde supremum kleiner of gelijk zijn aan de definitie-norm.

Nu ga ik de andere ongelijkheid bewijzen:
Neem de norm met de sup-definitie en een f in V (willekeurig). Dan geldt: Aldus geldt dat de norm met onze sup-definitie in die gegeven verzameling zit. Maar de definitienorm is daar de inf van dus kleiner of gelijk aan ieder van die elementen, dus ik heb de andere ongelijkheid. Hieruit volgt gelijkheid.

Een lang bewijs, maar laten we zeggen dat de trucjes toch een elegantie hebben :D

Plaats reactie