Bewijs met eenheidmodulo

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Leslie
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 25 nov 2012, 16:40

Bewijs met eenheidmodulo

Bericht door Leslie » 26 apr 2013, 19:22

Hallo,
Ik probeer al een tijdje de volgende dingen bewijzen, maar ik kom er niet helemaal uit, misschien kan iemand mij helpen?
Laat N,a en a mod N,-a mod N)* (eenheidmodulo)
a) Voor welke restklassen a mod N geldt dat a mod N= -a mod N? (0nderscheid de gevallen N even en N oneven)
b) Laat zien dat φ(N) even is als N≥3.

Bij a dacht ik het volgende (maar ik denk wel dat het fout is): omdat a mod N in )* zit is ggd(a,N)=1
a modN + amodN ≡ 2a modN ≡ 0 en dat betekent dus dat N even moet zijn.

Bij b weet ik niet echt wat ik moet doen, maar ik weet wel het volgende:

φ(N)= Π(p-1) p(vp(n)-1)=n Π(1-1/p) , waarbij het product over alle p|n gaat en p priem is.

Groetjes, Leslie

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Bewijs met eenheidmodulo

Bericht door barto » 26 apr 2013, 20:38

Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bewijs met eenheidmodulo

Bericht door arie » 27 apr 2013, 11:55

Leslie schreef: Laat N,a en a mod N,-a mod N)* (eenheidmodulo)
a) Voor welke restklassen a mod N geldt dat a mod N= -a mod N? (0nderscheid de gevallen N even en N oneven)
b) Laat zien dat φ(N) even is als N≥3.
Deze vraag is onzuiver geformuleerd, beter was:
Laat N,a
a) Voor welke restklassen a mod N geldt dat a mod N= -a mod N? (0nderscheid de gevallen N even en N oneven)

Neem vervolgens a mod N)* dus ook -a mod N)* (eenheidmodulo)
b) Laat zien dat φ(N) even is als N≥3.
b) volgt nu direct uit a):
voor elke a in bestaat er immers een -a in
Deze twee zijn voor N>=3 altijd verschillend, anders zou volgens onderdeel a) zijn.
Dus is even voor N>=3.

Je bewijs via de productformule kan ook, maar ik denk dat ze dat hier niet bedoelden.

Plaats reactie