ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 25 mei 2013, 10:34

Hallo,
Ik heb mij hier geregistreerd omdat ik met een vraag zit.
Soms is in de ruimtemeetkunde een vlak gegeven door een parametervergelijking. In bepaalde gevallen heb je echter een cartesiaanse vergelijking nodig van dat vlak.

Hiervoor kan je via substitutie soms de cartesiaanse bekomen.
Wordt dit moeilijker dan kan je via Gauss-Jordan de parametervergelijking krijgen zodanig dat je een stelsel krijgt met onbekenden S en T (s en t zijn de parameters van de vergelijking) en waarbij x y en z de constanten zijn.

Dit stelsel heeft 3 vergelijkingen, twee onbekenden. Niet altijd heeft dit stelsel dus een oplossing. Door de matrix schoon te vegen totdat je op een rij twee nullen hebt, dan kun je in je constanten aflezen wanneer het stelsel waar is. Die voorwaarde is je cartesiaanse vergelijking van dat vlak.

Nu was mijn vraag, kun je die omvorming ook doen met determinanten (regel van sarrus)? Ik denk het wel maar ben het niet zeker.

Een determinant van een stelsel is verschillend van 0 als het stelsel een oplossing heeft.
Als ik dus van het stelsel in s en t met x, y z als constanten zie en daarvan met sarrus de determinant bepaal en die gelijkstel aan een willekeurige waarde dan krijg ik toch ook de cartesiaanse vergelijking? Het is voor de normaalvector te zoeken.

Mag ik zomaar de determinant van die matrix een willekeurig getal geven? Kan ik met deze methode het vlak vinden (niet een evenwijdig vlak?)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 25 mei 2013, 11:02

einstein schreef:Hallo,

Hiervoor kan je via substitutie soms de cartesiaanse bekomen.
Wordt dit moeilijker dan kan je via Gauss-Jordan de parametervergelijking krijgen zodanig dat je een stelsel krijgt met onbekenden S en T (s en t zijn de parameters van de vergelijking) en waarbij x y en z de constanten zijn.

Dit stelsel heeft 3 vergelijkingen, twee onbekenden. Niet altijd heeft dit stelsel dus een oplossing. Door de matrix schoon te vegen totdat je op een rij twee nullen hebt, dan kun je in je constanten aflezen wanneer het stelsel waar is. Die voorwaarde is je cartesiaanse vergelijking van dat vlak.
Dit stelsel heeft heeft altijd een oplossing (in de zin die je bedoelt!). De determinant zal je niet helpen.

Kom eens met een concreet vb en jouw aanpak ...

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 25 mei 2013, 12:26



De onbekenden in dit stelsel zijn de parameters s en t, ik heb de gegeven parametervergelijking wat omgevormd.

Als je deze matrix schoonveegt tot je op één rij twee nullen hebt staan dan zie je in de laatste kolom de vergelijking van het vlak in cartesiaanse vorm.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 25 mei 2013, 16:02

Ok, dit levert de verg met de eis det=0.

Maar ben je niet bekend met het bepalen van de normaalvector via de richtingsvectoren?

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 25 mei 2013, 17:41

Nee, de methode die we zien op school is via substitutie of Gauss-jordan om over te gaan naar de cartesiaanse vergelijking. dan is de oplossing ax+by+cz=d en de normaalvector (a,b,c)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 25 mei 2013, 18:38

einstein schreef:Nee, de methode die we zien op school is via substitutie
Wat bedoel je hier?


Is het je bekend dat de normaalvector (loodrecht het vlak), dan ook loodrecht de ri v moet staan?
Wat is de eis bij loodrechte stand van vectoren?

Ben je bekend met het uitwendig product van vectoren (in 3D)?

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 25 mei 2013, 21:13

als je hebt bv

x=s+r+1
y=-s
z=-r

dan kun je dat toch makkelijk omvormen naar

x=-y-z+1 <=> x+y+z=1 en dan is de normaalvector (1,1,1)? Dat bedoelde ik met substitutie, je lost het stelsel verder op met substitutie...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 25 mei 2013, 22:06

Klopt, maar je geeft geen antwoord op de vragen ...

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 26 mei 2013, 09:09

s het je bekend dat de normaalvector (loodrecht het vlak), dan ook loodrecht de ri v moet staan?

Dat is inderdaad juist, had daar nog niet aan gedacht

Wat is de eis bij loodrechte stand van vectoren?
scalair product=0

uitwendig product=vectorieel product? Indien ja, mij wel bekend.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 26 mei 2013, 09:34

einstein schreef:scalair product=0
Kan je nu gebruik maken van deze eigenschap om de nv te vinden ... ,



en ...
uitwendig product=vectorieel product? Indien ja, mij wel bekend.
Dit levert direct de nv ...

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 26 mei 2013, 09:53

x=s+r+1
y=-s
z=-r

Dit levert de richtingsvectoren (-1,0,1) en (-1,-1,0) op.
De normaalvector moet dus voldoen aan -x-y=0 & -x+z=0 maar verder kom ik niet echt hoor. Moet ik nog iets doen met het punt 1.0.0?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 26 mei 2013, 09:59



en ...



Welke eenvoudige nv rolt hieruit?

Opm: let op de tweede rv, die was niet goed!

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 26 mei 2013, 10:25

Bedankt voor deze kinderlijk eenvoudige oplossingsmethode...

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door SafeX » 26 mei 2013, 10:35

En nu met het uitwendig product van beide rv ...

einstein
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 23 mei 2013, 21:36

Re: ruimtemeetkunde parametervergelijking regel van sarrus

Bericht door einstein » 26 mei 2013, 11:55

Ook gelukt!

Plaats reactie