Spiegelen van een Sigmoïd curve

Wiskunde is niet alleen een vak op school. Kom je ergens in de praktijk (bijvoorbeeld tijdens je werk) een wiskundig probleem tegen dan kun je hier om hulp vragen.
Plaats reactie
PieterCarel
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 5
Lid geworden op: 14 feb 2019, 17:13

Spiegelen van een Sigmoïd curve

Bericht door PieterCarel » 14 feb 2019, 17:45

Beste lezer,

In de bijlage is een model opgenomen waarbij voor het offreren van uurtarieven een bepaalde bonus/malus berekend wordt. Met de parameters kan ik de kromme van de grafiek en de spreiding van het percentage bepalen.

Het model is gebaseerd op de Sigmoïd curve.

Graag wil ook de mogelijkheid hebben om het grafiek (lijn) te spiegelen.
Voor de duidelijkheid heb ik in de grafiek handmatig een oranje lijn getekend.

Vraag

Kan dit met het aanpassen van de formule?
Zo ja, hoe moet de formule worden aangepast.
Zo nee, met welke andere formule kan dit worden gerealiseerd?


Pieter Carel

Voorbeeld Spiegelen van Sigmoïd Curve.xlsx
(27.87 KiB) 308 keer gedownload

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Spiegelen van een Sigmoïd curve

Bericht door arie » 15 feb 2019, 10:08

Afbeelding

In blauw je oorspronkelijke functie f (iets herschreven):

\(f: \;y = 1 + \sigma \left( \frac{2}{1+e^{-\alpha(x-100)}} - 1 \right)\)

met \(\alpha = 0.11\) en \(\sigma = 0.04\)

Deze functie heeft 2 horizontale asymptoten: de lijn \(y = 0.96\) en de lijn \(y = 1.04\)


In rood een inverse sigmoïd functie g, met het symmetriecentrum verlegd naar het punt \((100, 1)\):

\(g: \;y = 1 - \gamma \ln\left( \frac{2}{\frac{x-100}{\omega}+1} - 1\right)\)

met constanten \(\gamma\) en \(\omega\)

Deze functie heeft 2 verticale asymptoten: de lijn \(x = 100 - \omega\) en de lijn \(x=100+\omega\)

Omdat de grafiek door het punt \((40, 0.96)\) moet gaan, moet \(\omega > 60\) zijn, en moet

\(0.96 = 1 - \gamma \ln\left( \frac{2}{\frac{40-100}{\omega}+1} - 1\right)\)

Dit is één vergelijking met 2 onbekenden, we kunnen dus nog een eis stellen, bijvoorbeeld de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((100, 1)\). Deze raaklijn is in het plaatje hierboven in het groen weergegeven.

De afgeleide functie g' is:

\(g':\; y = \frac{2\gamma \omega}{\omega^2 - (x-100)^2}\)

de richtingscoëfficiënt rc in x=100 is dan

\(rc = \frac{2\gamma}{\omega}\)

Als we de richtingscoëfficiënt \(rc = \frac{0.012}{60}\) kiezen (hierboven weergegeven in paars), dan hebben we onze tweede vergelijking met 2 onbekenden:

\(\frac{0.012}{60} = \frac{2\gamma}{\omega}\)

ofwel

\(\gamma = \frac{0.012}{120} \omega\)

Als we dit resultaat invullen in de eerste vergelijking krijgen we:

\(0.96 = 1 - \frac{0.012}{120} \omega \ln\left( \frac{2}{\frac{40-100}{\omega}+1} - 1\right)\)

Hieruit kunnen we \(\omega\) numeriek oplossen:

\(\omega \approx 60.1555733276\)

waardoor

\(\gamma \approx \frac{0.012}{120} \cdot 60.1555733276 \approx 0.0060155573\)


Hier nog wat waarden van \(\gamma\) en \(\omega\) voor een aantal rc's:

Code: Selecteer alles

rc=0.003/60:    gamma=0.0015000000      omega=60.0000000003
rc=0.004/60:    gamma=0.0020000000      omega=60.0000002473
rc=0.005/60:    gamma=0.0025000006      omega=60.0000135043
rc=0.006/60:    gamma=0.0030000097      omega=60.0001943603
rc=0.007/60:    gamma=0.0035000762      omega=60.0013059558
rc=0.008/60:    gamma=0.0040003635      omega=60.0054531927
rc=0.009/60:    gamma=0.0045012444      omega=60.0165925512
rc=0.010/60:    gamma=0.0050033739      omega=60.0404869205
rc=0.011/60:    gamma=0.0055077200      omega=60.0842185601
rc=0.012/60:    gamma=0.0060155573      omega=60.1555733276
rc=0.013/60:    gamma=0.0065284416      omega=60.2625380342
rc=0.014/60:    gamma=0.0070481840      omega=60.4130059990
rc=0.015/60:    gamma=0.0075768354      omega=60.6146834530
rc=0.016/60:    gamma=0.0081166865      omega=60.8751489556
rc=0.017/60:    gamma=0.0086702857      omega=61.2020165115
rc=0.018/60:    gamma=0.0092404751      omega=61.6031673476
rc=0.019/60:    gamma=0.0098304468      omega=62.0870323296
rc=0.020/60:    gamma=0.0104438203      omega=62.6629220257

Plaats reactie