Voorbeeld:
Bedrag
\(T = 300.000\)
Looptijd
\(n = 360\) maanden,
Neem de maandrente 1 ‰, wat overeenkomt met een jaarrente van iets meer dan 1.2 %:
\(i = 1/1000 = 0.001\)
We berekenen eerst het vaste maandbedrag J dat we bij de annuïteiten hypotheek moeten bepalen.
De formule hiervoor staat op de wikipagina:
\(J = \frac{i\cdot (1+i)^n}{(1+i)^n-1} \cdot T\)
met onze getallen geeft dat:
\(J = \frac{0.001\cdot 1.001^{360}}{1.001^{360}-1}\cdot 300000 = 992.726082357547964...\)
Nu kunnen we in Excel de termijntabel van deze hypotheek opstellen:
i, J en T=T0 zijn bekend.
De rentekosten r1 van de eerste termijn (k=1) zijn r1 = i * T0 = 0.001 * 300000 = 300
De aflossing a1 van de eerste termijn is a1 = J - r1 = 992.73 - 300 = 692.73
De restschuld T1 na de eerste termijn is dus T1 = T0 - a1 = 300000 - 692.73 = 299307.27
Als je deze formules in Excel invoert (cellen F4, G4 en E4) kan je ze copy-pasten naar de overige maanden t/m maand 360.
Als het goed is dan is T360 = 0.00.
Stel je wil de som van de rentekosten weten over de periode k=8 t/m k=16 (de geel gemarkeerde cellen van bovenstaande tabel), deze som = 2631.06 (resultaat aangegeven in groen, berekend in Excel via de sommatie van de gele cellen).
Nu wil je dit laatste getal bepalen met een formule.
Op de wiki-pagina staat het rentebedrag in periode k:
\(r_k = J - (1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0)\)
De sommatie van deze bedragen over de periode k=1 t/m k=q is dan:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^q r_k = \sum_{k=1}^q \left(J - (1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0)\right)\)
\(= q\cdot J - \displaystyle \sum_{k=1}^q \left((1+i)^{k-1}\cdot (J-i\cdot T_0) \right)\)
\(= q\cdot J - (J-i\cdot T_0) \displaystyle \sum_{k=1}^q (1+i)^{k-1}\)
\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \displaystyle \sum_{k=1}^q (1+i)^{k-1}\)
definieer m = k - 1
\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \displaystyle \sum_{m=0}^{q-1} (1+i)^m\)
gebruik een standaard sommatie-formule
(zie
https://en.wikipedia.org/wiki/Summation ... _exponents):
\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \cdot \frac{(1+i)^q - 1}{(1+i)-1}\)
\(= q\cdot J + (i\cdot T_0 - J) \cdot \frac{(1+i)^q - 1}{i}\)
\(= q\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - 1)\)
We hebben nu de sommatie van r over de periodes k = 1 t/m k = q.
De sommatie van r over de periodes k = p t/m k = q wordt hiermee:
\(\displaystyle \sum_{k=p}^q r_k = \sum_{k=1}^q r_k - \sum_{k=1}^{p-1} r_k\)
\(= \left[ q\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - 1) \right] - \left[ (p-1)\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^{p-1} - 1) \right]\)
ofwel:
\(\displaystyle \sum_{k=p}^q r_k = (q-p+1)\cdot J + \left(T_0 - \frac{J}{i}\right) \cdot ((1+i)^q - (1+i)^{p-1})\)
In ons voorbeeld levert dit:
\(\displaystyle \sum_{k=8}^{16} r_k = (16-8+1)\cdot 992.73 + \left(300000 - \frac{992.73}{0.001}\right) \cdot (1.001^{16} - 1.001^{8-1}) = 2631.06\)
zoals we hierboven met Excel ook al vonden.