Hierboven de kast in een rooster gelegd, met gegeven:
SR = 50
PQ = 80
hoek c = hoek SQP = 135º
(NOOT: IN HET PLAATJE IS hoek c = 120º GETEKEND, maar dit maakt niet uit: hieronder rekenen we verder met hoek c vrij te kiezen tussen 90º en 180º).
Gevraagd:
hoek SOR = hoek b
hoek ROP = hoek a
Strategie:
Bepaal de ligging van punt R, daarmee kunnen we vervolgens eenvoudig de gevraagde hoeken berekenen.
Definieer
hoek QOP = hoek d = hoek c - 90º
dan is:
\(\sin(d) = \frac{PQ}{OQ}\)
dus
\(OQ = \frac{PQ}{\sin(d)}\)
De blauwe kast-lijn L door punten Q en R wordt gegeven door:
\(L: y = \tan(d)\cdot x + b\)
en omdat punt Q = (Qx, Qy) = (OQ, 0) op deze lijn ligt moet gelden:
\(L: Qy = \tan(d)\cdot Qx + b\)
ofwel:
\(L: 0 = \tan(d)\cdot \frac{PQ}{\sin(d)} + b\)
ofwel:
\(L: 0 = \frac{PQ}{\cos(d)} + b\)
dus
\(b= \frac{-PQ}{\cos(d)}\)
waarmee we lijn L hebben:
\(L: y = \tan(d)\cdot x - \frac{PQ}{\cos(d)}\)
Snij nu lijn L met de lijn door punten T en R:
de x-coordinaat van R = Rx = SR = gegeven (=50 in dit voorbeeld)
Dan wordt via de formule van L de y-coordinaat van R = Ry =
\(Ry = \tan(d)\cdot Rx - \frac{PQ}{\cos(d)}\)
ofwel
\(Ry = \tan(d)\cdot SR - \frac{PQ}{\cos(d)}\)
De afstand OS is dan de positieve waarde van dit getal Ry:
\(OS = \left| \;\tan(d)\cdot SR - \frac{PQ}{\cos(d)}\; \right|\)
Tenslotte is
\(\text{hoek } b = \text{hoek } SOR = \text{atan}\left(\frac{SR}{OS} \right)\)
en
\(\text{hoek } a = \text{hoek } ROP = (90^\circ - \text{hoek } b) + \text{hoek } d = \text{hoek } c - \text{hoek } b\)
Voorbeeld:
Als
SR = 50
PQ = 80
hoek c = hoek SOP = 135º
dan is:
\(\text{hoek } d = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\)
\(OS = \left| \;\tan(45^\circ)\cdot 50 - \frac{80}{\cos(45^\circ)}\; \right| = 63.137...\)
\(\text{hoek } b = \text{hoek } SOR = \text{atan}\left(\frac{50}{63.137...}\right) = 38.376...^\circ\)
\(\text{hoek } a = \text{hoek } ROP = 135^\circ - 38.376...^\circ = 96.62332... ^\circ\)
Lukt het hiermee?