Wiskundeforum

Ik heb een beweging waarvan ik de totale tijd weet en ook hoeveel de verplaatsing is.
De beweging kan in drie delen opgebouwd worden :
1) de acceleratie stijgt lineair vanaf 0 naar een bepaalde waarde
2) de acceleratie blijft constant gedurende een bepaalde tijd. Acceleratiewaarde = waarde op einde fase 1
3) de acceleratie daalt lineair tot 0

Verder weet men ook het percentage van de totale tijd dat de acceleratie stijgt of daalt.
Dit percentage is hetzelfde voor stijgen of dalen.

Nu zou ik moeten berekenen :
1) wat is de snelheid op het einde van de beweging
2) wat is de maximale acceleratie die bereikt wordt
3) wat is de snelheid op het einde van fase 1
4) wat is de snelheid op het einde van fase 2

Mijn aanvoelen is dat als je de acceleratie in functie van de tijd uitzet, dat je de driehoek van fase 3 met de decceleratie kan plakken bij de driehoek van fase 1. Dan heb je een rechthoek, waarvan je de tijd kan berekeken (totale tijd x (100% - % deceleratie). De snelheid zal over deze rechthoek lineair stijgen. Als je de snelheid dan uitzet over dezelfde tijdsas, dan heb je een driehoek. De oppervlakte eronder is de verplaatsing en dat is de eindsnelheid x de tijd / 2. De verplaatsing is gegeven, dus kan je de eindsnelheid berekeken. Met kennis van de eindsnelheid kan je dan ook de maximale acceleratie berekenen.
Met de acceleratie en de tijd van fase 1 en 2 kan je ook de snelheden berekenen.
Klopt mijn redenering volledig?

Je redenering klopt.
Hieronder het bewijs (= de volledige doorrekening):

Stel \(\alpha\) = de maximale versnelling,
\(t_i\) = de tijdsduur van fase i van de beweging,
dan geldt vanuit volledige rust:

Fase 1:

\(a_t=\frac{\alpha}{t_1}t\)
\(v_t=\frac{\alpha}{2t_1}t^2\)
\(x_t=\frac{\alpha}{6t_1}t^3\)

en op \(t=t_1\):

\(a_{t1}=\alpha\)
\(v_{t1}=\frac{t_1}{2}\alpha\)
\(x_{t1}=\frac{t_1^2}{6}\alpha\)

Deze eindwaarden zijn de beginwaarden voor fase 2.


Fase 2:

\(a_t= 0\cdot t + a_0 = a_0 = \alpha\)
\(v_t=\alpha t + v_0 = \alpha t + \frac{t_1}{2}\alpha\)
\(x_t=\frac{1}{2}\alpha t^2 + v_0t + x_0 = \frac{1}{2}\alpha t^2 + \frac{t_1}{2}\alpha t + \frac{t_1^2}{6}\alpha \)

en op \(t=t_2\):

\(a_{t2}=\alpha\)
\(v_{t2}=\left( t_2 + \frac{t_1}{2}\right)\alpha\)
\(x_{t2}=\left( \frac{t_2^2}{2} + \frac{t_1t_2}{2} + \frac{t_1^2}{6}\right)\alpha\)

Deze eindwaarden zijn de beginwaarden voor fase 3.


Fase 3:

\(a_t=-\frac{\alpha}{t_1}t + a_0 = -\frac{\alpha}{t_1}t + \alpha\)
\(v_t=-\frac{\alpha}{2t_1}t^2 + \alpha t + v_0=-\frac{\alpha}{2t_1}t^2 + \alpha t + \left( t_2 + \frac{t_1}{2}\right)\alpha\)
\(x_t=-\frac{\alpha}{6t_1}t^3 + \frac{1}{2}\alpha t^2 + v_0 t + x_0\)
\(=-\frac{\alpha}{6t_1}t^3 + \frac{1}{2}\alpha t^2 + \left( t_2 + \frac{t_1}{2}\right)\alpha t + \left( \frac{t_2^2}{2} + \frac{t_1t_2}{2} + \frac{t_1^2}{6}\right)\alpha\)

en op \(t=t_1\) (omdat \(t_3 = t_1)\):

\(a_{t1}=0\)
\(v_{t1}=-\frac{\alpha}{2t_1}t_1^2 + \alpha t_1 + \left( t_2 + \frac{t_1}{2}\right)\alpha = (t_1+t_2)\alpha\)
\(x_{t1}=-\frac{\alpha}{6t_1}t_1^3 + \frac{1}{2}\alpha t_1^2 + \left( t_2 + \frac{t_1}{2}\right)\alpha t_1 + \left( \frac{t_2^2}{2} + \frac{t_1t_2}{2} + \frac{t_1^2}{6}\right)\alpha\)
\(=\left( -\frac{t_1^2}{6} + \frac{t_1^2}{2} + t_1 t_2 + \frac{t_1^2}{2} + \frac{t_2^2}{2} + \frac{t_1t_2}{2} + \frac{t_1^2}{6}\right)\alpha\)
\(=\left( t_1^2 + \frac{3}{2}t_1 t_2 + \frac{1}{2}t_2^2 \right)\alpha\)


Met je rechthoek had je al bepaald dat
\(v_{t3} = (t_1+t_2)\alpha\)
Het oppervlak onder de driehoek in het v-t-diagram wordt daarmee:
\(x_{t3}=\frac{1}{2}(t_1+t_2+t_3)(t_1+t_2)\alpha = \frac{1}{2}(2t_1+t_2)(t_1+t_2)\alpha=\frac{1}{2}(2t_1^2+3t_1t_2+t_2^2)\alpha\)
= de waarde van de doorrekening met de bewegingsformules hierboven.

Hieruit kan je \(\alpha\) bepalen en daarmee ook de overige gevraagde waarden.