Goedemiddag Lieve mensen,
Even een vraagje,
Zou iemand ons kunnen helpen met het volgende probleem, we moeten het beantwoorden aan de hand van de poisson-verdeling. We hebben wel een site opgezocht waar je het gemiddelde en K in moet vullen. Maar weten niet hoe je het op een normale nette manier moet formuleren;
Probleem;
In een bepaald gebied vinden jaarlijks gemiddeld 25 ernstige verkeersongelukken plaats. In de afgelopenn jaren heeft in het gebied noch een positieve trend, noch een negatieve trend voorgedaan in het aantal verkeersongelukken. Wat is de kans dat het komende jaar het aantal ongelukkien de 25 NIET overschrijdt? En wat is de kans dat het komende jaar meer dan 30 ongelukken plaatsvinden?
Hopelijk kan er hulp geboden worden, onze leraar snapt het zelf namelijk niet eens :S
Arne
Poisson- verdeling
Re: Poisson- verdeling
De uitleg over de Poisson verdeling vind je bijvoorbeeld hier:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Poissonverdeling
jij kan dan hier zowel de kansfunctie f(N=k) als de verdelingsfunctie F(N<=k) gebruiken.
voor labda = 25 heb je hier alle waarden:
Bijvoorbeeld:
- de kans op k = 25 ongevallen komend jaar = f(N=25) = 0.07952295
- de kans op k <=25 ongevallen komend jaar = F(N<=25) = 0.55292142
- de kans op k>30 ongevallen komend jaar = 1 - F(N<=30) = 1 - 0.86330887 = 0.13669113
Mogelijk heb je een rekenmachine die deze functies kan berekenen of een tabellenboek waarin je de waarden kan opzoeken.
Zo niet, dan zijn er een aantal Poisson calculators op het web, bijvoorbeeld
http://rockem.stat.sc.edu/prototype/cal ... st=Poisson
Kom je zo vooruit??
http://nl.wikipedia.org/wiki/Poissonverdeling
jij kan dan hier zowel de kansfunctie f(N=k) als de verdelingsfunctie F(N<=k) gebruiken.
voor labda = 25 heb je hier alle waarden:
Code: Selecteer alles
k f(N=k) F(N<=k)
0 0.00000000 0.00000000
1 0.00000000 0.00000000
2 0.00000000 0.00000000
3 0.00000004 0.00000004
4 0.00000023 0.00000027
5 0.00000113 0.00000140
6 0.00000471 0.00000611
7 0.00001682 0.00002292
8 0.00005256 0.00007548
9 0.00014599 0.00022148
10 0.00036498 0.00058646
11 0.00082951 0.00141597
12 0.00172815 0.00314412
13 0.00332336 0.00646748
14 0.00593458 0.01240206
15 0.00989096 0.02229302
16 0.01545463 0.03774765
17 0.02272739 0.06047504
18 0.03156582 0.09204086
19 0.04153397 0.13357483
20 0.05191747 0.18549230
21 0.06180651 0.24729881
22 0.07023467 0.31753348
23 0.07634203 0.39387552
24 0.07952295 0.47339847
25 0.07952295 0.55292142
26 0.07646438 0.62938580
27 0.07080035 0.70018614
28 0.06321460 0.76340074
29 0.05449534 0.81789608
30 0.04541279 0.86330887
31 0.03662321 0.89993208
32 0.02861189 0.92854397
33 0.02167567 0.95021964
34 0.01593799 0.96615763
35 0.01138428 0.97754191
36 0.00790575 0.98544766
37 0.00534172 0.99078939
38 0.00351429 0.99430368
39 0.00225275 0.99655643
40 0.00140797 0.99796440
41 0.00085852 0.99882292
42 0.00051102 0.99933394
43 0.00029711 0.99963105
44 0.00016881 0.99979986
45 0.00009378 0.99989364
46 0.00005097 0.99994461
47 0.00002711 0.99997172
48 0.00001412 0.99998584
49 0.00000720 0.99999305
50 0.00000360 0.99999665
51 0.00000177 0.99999841
52 0.00000085 0.99999926
53 0.00000040 0.99999966
54 0.00000019 0.99999985
55 0.00000008 0.99999993
56 0.00000004 0.99999997
57 0.00000002 0.99999999
58 0.00000001 0.99999999
59 0.00000000 1.00000000
60 0.00000000 1.00000000
: : :
- de kans op k = 25 ongevallen komend jaar = f(N=25) = 0.07952295
- de kans op k <=25 ongevallen komend jaar = F(N<=25) = 0.55292142
- de kans op k>30 ongevallen komend jaar = 1 - F(N<=30) = 1 - 0.86330887 = 0.13669113
Mogelijk heb je een rekenmachine die deze functies kan berekenen of een tabellenboek waarin je de waarden kan opzoeken.
Zo niet, dan zijn er een aantal Poisson calculators op het web, bijvoorbeeld
http://rockem.stat.sc.edu/prototype/cal ... st=Poisson
Kom je zo vooruit??
Re: Poisson- verdeling
Ja hartstikke bedankt, we probeerden het op dezelfde manier met de volgende opgave;
Je bent op een bijeenkomst waarop 500 andere personen aanwezeig zijn. De organisatoren van de bijeenkomst verloten een prijs tussen alle personen die op de dag van de bijeenkomst jarig zijn. Toevallig ben jij jarig op die dag. Wat is de kans dat je de enige deelnemer bent welke op die dag jarig is?
Wij dachten dat labda hier 500 was, maar verder dan dit kwamen we niet.
Je bent op een bijeenkomst waarop 500 andere personen aanwezeig zijn. De organisatoren van de bijeenkomst verloten een prijs tussen alle personen die op de dag van de bijeenkomst jarig zijn. Toevallig ben jij jarig op die dag. Wat is de kans dat je de enige deelnemer bent welke op die dag jarig is?
Wij dachten dat labda hier 500 was, maar verder dan dit kwamen we niet.
Re: Poisson- verdeling
labda is het verwachte aantal voorvallen (=verjaardagen).
er zijn 501 personen aanwezig, neem het aantal dagen per jaar 365, dan is labda 501/365 ~= 1.3726.
Naar verwachting zullen er dus labda = 1.3726 deelnemers vandaag jarig zijn.
Je wilt nu weten
 = \frac{e^{-1.3726}*1.3726^{1}}{1!} = 0.3479)
(dit is de bekende formule).
MAAR:
De Poissonverdeling levert slechts een benadering van de kans (het is een limiet van de binomiale verdeling - ingewikkeld verhaal).
In dit geval kan je de kans ook exact uitrekenen:
- gegeven: het is vandaag jouw verjaardag,
- hoe groot is dan de kans dat iemand anders (= 1 bepaalde andere persoon) vandaag niet jarig is?
- hoe groot is dan de kans dat 500 anderen allemaal vandaag niet jarig zijn?
- wat is dus P(N=1) exact?
Voor dit probleem een behoorlijk groot verschil!!
er zijn 501 personen aanwezig, neem het aantal dagen per jaar 365, dan is labda 501/365 ~= 1.3726.
Naar verwachting zullen er dus labda = 1.3726 deelnemers vandaag jarig zijn.
Je wilt nu weten
(dit is de bekende formule).
MAAR:
De Poissonverdeling levert slechts een benadering van de kans (het is een limiet van de binomiale verdeling - ingewikkeld verhaal).
In dit geval kan je de kans ook exact uitrekenen:
- gegeven: het is vandaag jouw verjaardag,
- hoe groot is dan de kans dat iemand anders (= 1 bepaalde andere persoon) vandaag niet jarig is?
- hoe groot is dan de kans dat 500 anderen allemaal vandaag niet jarig zijn?
- wat is dus P(N=1) exact?
Voor dit probleem een behoorlijk groot verschil!!
Re: Poisson- verdeling
Beste mensen,
ik heb op school ook de poisson verdeling en ik snap er helemaal niks van, ik hoop dat er mensen zijn die mij hiermee kunnen helpen als ik wat vragen heb? Ik had u (Arie) al gemaild, maar ik heb geen reactie gehad, ik hoop dat iemand mij kan helpen? Heb dringend hulp nodig!!
Groet
ik heb op school ook de poisson verdeling en ik snap er helemaal niks van, ik hoop dat er mensen zijn die mij hiermee kunnen helpen als ik wat vragen heb? Ik had u (Arie) al gemaild, maar ik heb geen reactie gehad, ik hoop dat iemand mij kan helpen? Heb dringend hulp nodig!!
Groet
Re: Poisson- verdeling
(1)
grexnl, ik heb geen mail ontvangen, maar in het algemeen kan je je vragen ook het beste gewoon op het forum plaatsen: je hebt dan de grootste kans op een snel antwoord.
(2)
Wellicht wordt e.e.a. zo wat duidelijker:
Definitie:
"De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die met name van toepassing is voor stochastische variabelen die het voorkomen van bepaalde voorvallen tellen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volumen etc."
Dit betekent dat we de kans kunnen berekenen dat een variabele N een bepaalde waarde heeft (of een maximale waarde, of een minimale waarde), bijvoorbeeld:
- de kans dat N gelijk is aan 4: P(N=4)
- de kans dat N hoogstens 10 is: P(N<=10) = P(N=0) + P(N=1) + .... + P(N=10)
Het aantal gebeurtenissen N is hier altijd een geheel getal (in onderstaande formule aangegeven met k).
De kans P(N=k) ligt altijd tussen 0 en 1 (inclusief deze grenswaarden) zoals gebruikelijk bij kansen.
Om deze kans te kunnen berekenen hebben we de waarde van een variabele labda nodig, dit is het aantal dat we (gemiddeld) verwachten voor N. Dit getal labda hoeft niet geheel te zijn, maar mag ook reeel zijn (heel vaak is het een reeel getal).
De formule voor P(N=k) bij gegeven k en labda is dan:
=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!})
VOORBEELD:
Rond 12 augustus 2009 zijn de Perseïden actief, dit zijn meteoren met een uurfrequentie van 100, dwz: per uur zien we gemiddeld 100 vallende sterren.
We kijken die nacht 20 minuten = 1/3 uur naar de (heldere) hemel.
We verwachten dan labda = 100/3 = 33.3333... vallende sterren te zien.
De kans dat we er precies 20 zien =
=\frac{e^{-33.3333}*33.3333^{20}}{20!}\approx 0.003935)
Dergelijke waarden kunnen we berekenen, bijvoorbeeld met de Poisson-calculator (zie de link in eerdere post), of opzoeken in een tabellenboek.
Kijk eens of je op het zelfde uitkomt voor:
- de kans dat we er precies 33 zien = P(N=33) ~= 0,0692
- de kans dat we er 40 of meer zien = P(N>=40) ~= 0,1433
- de kans dat we er minder dan 40 zien = P(N<40) ~= 0,8567
grexnl, ik heb geen mail ontvangen, maar in het algemeen kan je je vragen ook het beste gewoon op het forum plaatsen: je hebt dan de grootste kans op een snel antwoord.
(2)
Wellicht wordt e.e.a. zo wat duidelijker:
Definitie:
"De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die met name van toepassing is voor stochastische variabelen die het voorkomen van bepaalde voorvallen tellen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volumen etc."
Dit betekent dat we de kans kunnen berekenen dat een variabele N een bepaalde waarde heeft (of een maximale waarde, of een minimale waarde), bijvoorbeeld:
- de kans dat N gelijk is aan 4: P(N=4)
- de kans dat N hoogstens 10 is: P(N<=10) = P(N=0) + P(N=1) + .... + P(N=10)
Het aantal gebeurtenissen N is hier altijd een geheel getal (in onderstaande formule aangegeven met k).
De kans P(N=k) ligt altijd tussen 0 en 1 (inclusief deze grenswaarden) zoals gebruikelijk bij kansen.
Om deze kans te kunnen berekenen hebben we de waarde van een variabele labda nodig, dit is het aantal dat we (gemiddeld) verwachten voor N. Dit getal labda hoeft niet geheel te zijn, maar mag ook reeel zijn (heel vaak is het een reeel getal).
De formule voor P(N=k) bij gegeven k en labda is dan:
VOORBEELD:
Rond 12 augustus 2009 zijn de Perseïden actief, dit zijn meteoren met een uurfrequentie van 100, dwz: per uur zien we gemiddeld 100 vallende sterren.
We kijken die nacht 20 minuten = 1/3 uur naar de (heldere) hemel.
We verwachten dan labda = 100/3 = 33.3333... vallende sterren te zien.
De kans dat we er precies 20 zien =
Dergelijke waarden kunnen we berekenen, bijvoorbeeld met de Poisson-calculator (zie de link in eerdere post), of opzoeken in een tabellenboek.
Kijk eens of je op het zelfde uitkomt voor:
- de kans dat we er precies 33 zien = P(N=33) ~= 0,0692
- de kans dat we er 40 of meer zien = P(N>=40) ~= 0,1433
- de kans dat we er minder dan 40 zien = P(N<40) ~= 0,8567
Re: Poisson- verdeling
Ik zie hier een vraag in mijn boek staan:
In een bepaalde streek vallen per maand door verlies of diefstal 700 pinpasjes in handen van kwaadwillende personen. Een onbevoegd iemand kan op dezelfde dag tot drie keer toe een pincode proberen, bij de derde foutieve poging wordt het pasje door het pinapparaat ingeslikt. Wat is de kans dat in een gegeven maand de bankrekening geplunderd wordt van één of meer personen wiens pinpasje in handen van kwaadwillende personen gevallen zijn?
Je moet veronderstellen dat elke kwaadwillende persoon tot drie keer toe een pincode probeert alvorens diezelfde dag het pasje door de bank wordt geblokkeerd
Ik denk dat ik moet berekenen P(N >=1), in uw voorbeeld snapte ik de labda wel, maar wat moet de labda hier worden? Moet ik dan eerst het aantal mogelijkheden wat het kost om een pinpasje te kraken berekenen? Een pinpasje heeft 4 cijfers en de kans dat je het goed gokt is 1 op 10.000? en dan moet je ervan uitgaan dat je een pasje 3 keer probeert dus 10.000^3 ?
Ik snap het eigenlijk nog niet zo goed..
In een bepaalde streek vallen per maand door verlies of diefstal 700 pinpasjes in handen van kwaadwillende personen. Een onbevoegd iemand kan op dezelfde dag tot drie keer toe een pincode proberen, bij de derde foutieve poging wordt het pasje door het pinapparaat ingeslikt. Wat is de kans dat in een gegeven maand de bankrekening geplunderd wordt van één of meer personen wiens pinpasje in handen van kwaadwillende personen gevallen zijn?
Je moet veronderstellen dat elke kwaadwillende persoon tot drie keer toe een pincode probeert alvorens diezelfde dag het pasje door de bank wordt geblokkeerd
Ik denk dat ik moet berekenen P(N >=1), in uw voorbeeld snapte ik de labda wel, maar wat moet de labda hier worden? Moet ik dan eerst het aantal mogelijkheden wat het kost om een pinpasje te kraken berekenen? Een pinpasje heeft 4 cijfers en de kans dat je het goed gokt is 1 op 10.000? en dan moet je ervan uitgaan dat je een pasje 3 keer probeert dus 10.000^3 ?
Ik snap het eigenlijk nog niet zo goed..
Re: Poisson- verdeling
de kans op plundering van 1 pasje (=rekening) is 3/10000.
bij diefstal van 700 pasjes per maand verwacht je dat 700 x (3/10000) = 2100/10000 = 0,21 rekeningen geplunderd worden.
Dus labda = 0,21.
Je moet dan inderdaad P(N>=1) berekenen voor labda = 0.21.
Als ik kijk op
http://rockem.stat.sc.edu/prototype/cal ... st=Poisson
vind ik hiervoor P(N>=1) = 0,1894
bij diefstal van 700 pasjes per maand verwacht je dat 700 x (3/10000) = 2100/10000 = 0,21 rekeningen geplunderd worden.
Dus labda = 0,21.
Je moet dan inderdaad P(N>=1) berekenen voor labda = 0.21.
Als ik kijk op
http://rockem.stat.sc.edu/prototype/cal ... st=Poisson
vind ik hiervoor P(N>=1) = 0,1894
Re: Poisson- verdeling
Dat lijkt mij inderdaad ook het goede antwoord, dan was ik al een eind opweg ik had alleen niet 10.000^3 moeten doen maar 3/10.000 en dat moeten vermenigvuldigen met alle pasjes die gestolen zijn(700) en dan had ik de labda gevonden!
Hartelijk dank ik zal kijken of ik nu een stukje verder kom als er iets niet lukt dan vraag ik het hier wel:)
Hartelijk dank ik zal kijken of ik nu een stukje verder kom als er iets niet lukt dan vraag ik het hier wel:)
Re: Poisson- verdeling
Ik heb een aantal vragen weten te maken, maar nu gaan ze over op deze vraag:
In de lotto 6/45 worden zes getallen getrokken uit 1,..,45, waarbij het totale aantal mogelijke trekkingsmogelijkheden gelijk is aan 45 boven 6 = 8145060. Reken na dat je meer dan 9000 jaar van je leven zou moeten hebben om met een kans van tenminste 50% ooit in je leven een keer de jackpot te winnen in de lotto 6/45 als je elke week 12 rijtjes zou invullen.
n is dan toch 9000*52 en p is dan toch 12/ 8145060 en dan geldt 1- e^-np =0.5
Of klopt dit helemaal niet?
In de lotto 6/45 worden zes getallen getrokken uit 1,..,45, waarbij het totale aantal mogelijke trekkingsmogelijkheden gelijk is aan 45 boven 6 = 8145060. Reken na dat je meer dan 9000 jaar van je leven zou moeten hebben om met een kans van tenminste 50% ooit in je leven een keer de jackpot te winnen in de lotto 6/45 als je elke week 12 rijtjes zou invullen.
n is dan toch 9000*52 en p is dan toch 12/ 8145060 en dan geldt 1- e^-np =0.5
Of klopt dit helemaal niet?
Re: Poisson- verdeling
Hier heb je geen Poissonbenadering voor nodig:
de kans dat je in 1 week wint = 12/(45C6)
de kans dat je in 1 week verliest is dus = 1 - (12/(45C6)) = 8145048/8145060 ~= 0.999998526
de kans dat je n weken achter elkaar altijd verliest is dan 0.999998526^n.
Als de kans op minstens 1 keer winst gelijk moet zijn aan 0.5, moet de kans op alles verliezen gelijk zijn aan 1 - 0.5 = 0.5, dus moet gelden:
0.999998526^n = 0.5
log(0.999998526^n) = log(0.5)
n * log(0.999998526) = log(0.5)
n = log(0.5)/log(0.999998526) ~= 470476.6556 weken
dit is ongeveer 470476.6556/52 = 9047.6 jaar.
de kans dat je in 1 week wint = 12/(45C6)
de kans dat je in 1 week verliest is dus = 1 - (12/(45C6)) = 8145048/8145060 ~= 0.999998526
de kans dat je n weken achter elkaar altijd verliest is dan 0.999998526^n.
Als de kans op minstens 1 keer winst gelijk moet zijn aan 0.5, moet de kans op alles verliezen gelijk zijn aan 1 - 0.5 = 0.5, dus moet gelden:
0.999998526^n = 0.5
log(0.999998526^n) = log(0.5)
n * log(0.999998526) = log(0.5)
n = log(0.5)/log(0.999998526) ~= 470476.6556 weken
dit is ongeveer 470476.6556/52 = 9047.6 jaar.