Wiskundeforum

door **David** » 07 Feb 2010, 17:50

Rationale getallen omvat ook gehele getallen omdat ook gehele getallen als breuk met teller en noemer omgeschreven kan worden. 3 is een geheel getal. 3=6/2. 6 is een geheel getal, 2 is een geheel getal dus 3 is een rationaal getal. Ik heb het Venn-diagram als volgt getekend:
Een grote cirkel is $\mathbb{C}$ , de complexe getallen.
In die cirkel is $\mathbb{Q}$ , de Rationale getallen
In de cirkel $\mathbb{Q}$ staat een cirkel $\mathbb{R}$ , de reële getallen.
In cirkel $\mathbb{R}$ staat $\mathbb{Z}$ , gehele pos. en neg. getallen en 0.
In cirkel $\mathbb{Z}$ zitten de $\mathbb{N}$ , de positieve gehele getallen. Klopt deze zo?

door **arno** » 07 Feb 2010, 19:32

De volgorde van ℝ en ℚ moet in je Venndiagram worden omgewisseld. ℝ bevat naast alle getallen uit ℚ ook alle irrationale getallen, dus ℚ is een deelverzameling van ℝ. Verder bevat ℚ naast alle gebroken getallen ook alle gehele getallen, dus ℤ is een deelverzameling van ℚ.

door **SafeX** » 07 Feb 2010, 19:47

Ik 'zie' het Venn-diagram nu niet, maar het moet er als volgt opgebouwd worden:
$N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$
Waar staan nu de irrationale getallen?

door **David** » 07 Feb 2010, 20:53

Wel handig als ik [ Formule][ /Formule] om de TeX-tekst zet... nou ja.
Dus $\mathbb{Z}$ is een deelverzameling van $\mathbb{Q},$ want een geheel getal is altijd rationaal. Irrationale getallen staan "tussen" R en C, vb. van irrationaal is pi, niet te schrijven als breuk met in teller en noemer een geheel getal. Niet alle irrationale getallen zijn complex, maar een Rationaal getal is nooit irrationaal? Mag hij dan wel ertussen?

door **SafeX** » 07 Feb 2010, 21:37

daco schreef: Niet alle irrationale getallen zijn complex, maar een Rationaal getal is nooit irrationaal? Mag hij dan wel ertussen?

Hier begrijp ik niets van.
Noem mij een irrationaal complex getal.
Wat betekent: "Mag hij dan wel ertussen?"
Wie is hij, en wat betekent "ertussen".

Iets anders: je kent een getallenlijn.
Kan je die in verband brengen met deze verzamelingen.

door **David** » 08 Feb 2010, 11:19

Een complex getal is een getal als a+bi. vb: 2+3i. Dat getal is irrationaal want je kan geen breuk schrijven met een teller en noemer als geheel getal. Mag hij er wel tussen is inderdaad wat cryptisch, Je gaf dit:
$N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$ . Met "daartussen" zou ik dan
irrationaal zo $\cdots\subset R \subset I \subset C$ plaatsen. Is er een symbool voor irrationale getallen?

door **SafeX** » 08 Feb 2010, 13:38

daco schreef:Een complex getal is een getal als a+bi. vb: 2+3i. Dat getal is irrationaal want je kan geen breuk schrijven met een teller en noemer als geheel getal. Mag hij er wel tussen is inderdaad wat cryptisch, Je gaf dit:
$N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$ . Met "daartussen" zou ik dan
irrationaal zo $\cdots\subset R \subset I \subset C$ plaatsen. Is er een symbool voor irrationale getallen?

Je noemt 2+3i als irrationaal, maar dit is een complex getal.
Een irrationaal getal is een reëel getal en je kan dit dan ook terugvinden in het Venn-diagram, die ik voorstelde. Ga dat na. Er is geen symbool voor de verzameling irrationale getallen. Het kan natuurlijk wel worden afgesproken en misschien zijn er boeken waarin dit voorkomt maar dan moet het zijn nut hebben.

SafeX schreef:Iets anders: je kent een getallenlijn.
Kan je die in verband brengen met deze verzamelingen.

Dit is ook belangrijk.

door **David** » 09 Feb 2010, 11:28

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ , de verzameling $\mathbb{Q}$ is een subset van $\mathbb{R}$ . Dat wil zeggen dat als een getal rationaal is, die ook reeël is. Mag je ervanuitgaan dat irrationaal en rationaal in dezelfde verzameling zitten, geloof het niet, maar dan de redenering: als een getal irrationaal is, dan is die ook reeël.
Als je naar een getallenlijn kijkt, en je tekent de complexe getallen daarop, en dan de reële getallen, liggen alle punten van de reële getallen ook op de complexe getallen. zelfde redenatie voor reeël en rationaal, rationaal en gehele pos. en neg getallen, en gehele pos. en neg getallen en natuurlijke getallen. De verdeling van de puntjes op de getallen lijn wordt steeds dunner. Het aantal natuurlijke getallen is op een vast interval altijd kleiner dan het aantal complexe getallen. Toch op de hele lijn allebei oneindig veel.

door **SafeX** » 09 Feb 2010, 17:20

Heb je een Venn-diagram gemaakt? Dan kan je toch precies 'zien' waar de irrationale getallen zitten, want ze behoren niet tot Q maar wel tot R.

Op de getallenlijn bevinden zich alleen reële getallen. Formeel kan je de complexe getallen z=x+i*0 ertoe rekenen, maar dat doen we nooit.
Waar het om gaat in verband met het Venn-diagram, dat we in het diagram N, Z, Q en R allemaal een 'plek' geven maar op de getallenlijn, kunnen we de verz N, Z en Q construeren en zelfs enkele irrationale getallen (bv) √2. Maar (bv) pi niet. Daarvan komt het woord irrationaal dwz onmeetbaar.
Bovendien liggen tussen elk tweetal breuken weer andere breuken en ook irrationale getallen.
Voor complexe getallen hebben we het complexe vlak nodig en daarin kan je de x-as dan weer beschouwen als de getallenrechte van de reële getallen

Opm: je lay-out van bv Q is bij mij niet zichtbaar. Dus dat kan je dan het best achterwege laten

door **David** » 09 Feb 2010, 21:34

In het venn-diagram had ik in de cirkel voor $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ en $I$ apart gezet, maar ik dacht dat er een soort keten van letters en subsets moest komen om het zo maar even te noemen. $\sqrt{2}$ is te construeren met pythagoras, maar kan je pi niet construeren door een cirkel met straal 0.5 uit te rollen vanaf 0 tot de cirkel rond is?

Over de lay-out van getallen: ik vergeet om er formule omheen te zetten, vandaar, dat is ook wel aangepast in de post. Bedankt voor die opmerking.

door **arno** » 09 Feb 2010, 22:18

We onderscheiden 2 soorten irrationale getallen: algebraïsche getallen en transcendente getallen. Een irrationaal getal is algebraïsch als het een oplossing is van een veeltermvergeljking. Is een irrationaal getal geen oplossing van een veeltermvergeljking, dan is het een transcendent getal. Bekende voorbeelden van transcendente getallen zijn π en e.

door **David** » 10 Feb 2010, 22:18

Moet voor de exponent van de polynoom beschreven hier: http://nl.wikipedia.org/wiki/Transcendent_getal, de n, geheel zijn, dan zou je $\sqrt{2}$ toch niet als zo'n polynoom kunnen beschrijven of wel, voor $\sqrt{2}$ moet die n 0.5 zijn als het grondtal 2 is. Gaat het erom dat je een transcedent getal niet met passer of liniaal op een lijn kan construeren, want dat kan met π wel he, en dan uitrollen als het ware over de getallenlijn. Dat is wat wikipedia geeft, met de regel over de veeltermvergelijking is π en e een transcendent irrationaal getal.

door **SafeX** » 10 Feb 2010, 22:48

daco schreef:Moet voor de exponent van de polynoom beschreven hier: http://nl.wikipedia.org/wiki/Transcendent_getal, de n, geheel zijn, dan zou je $\sqrt{2}$ toch niet als zo'n polynoom kunnen beschrijven of wel,

$\sqrt{2}$ is een opl van de verg: x²-2=0, dus ...

door **David** » 10 Feb 2010, 23:02

o, ja, natuurlijk...
$x=\sqrt{2} \bigvee x=-\sqrt{2}$
maar geldt dan dat de exponent geheel zijn of mag x^0.5 ook?

door **arno** » 11 Feb 2010, 19:44

Omdat π een transcendent getal is, is het niet mogelijk om met passser en liniaal een lijnstuk met lengte π te construeren.

Wiskundeforum

hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Re: hoeveel getallen?

Wie is er online?