poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Stelling:
Waarbij:
Deelstelling 1:
Stel dat de delersom van n zo groot mogelijk is, dan is n deelbaar door elk natuurlijk getal, lager dan of gelijk aan n.
Dus:
We kunnen nu de n buiten het somteken schrijven.
Als we naar de definitie van H_n kijken zien we dus:
Deelstelling 1 is dus bewezen.
Deelstelling 2:
Laten we eens naar kijken
als je naar de linkerkant kijkt, zie je dat het eerste element groter is dan de som van de twee volgende en die is weer groter dan de som van de volgende vier. Dit is makkelijk te bewijzen. Je kan de volgende formule maken.
Wat algebra resulteert in:
Twee tot de macht voor beide kanten.
Deelstelling 3: impliceert
In deelstelling 1 bewezen we:
En in deelstelling 2:
Dit valt te combineren in:
Als en , dan , dus deelstelling 3 is bewezen
Laten we nu wat algebra doen met de nieuwe vergelijking.
Is gelijk aan.
Beide kanten delen door
de 'de macht buiten de vergelijking zetten:
Wat testen met een computerprogramma laat zien dat voor
en voor .
alle waarden van n, lager dan 12070 kunnen met een computerprogramma gecheckt worden (ze kloppen). dit betekent dat:
Klopt dit?
Waarbij:
Deelstelling 1:
Stel dat de delersom van n zo groot mogelijk is, dan is n deelbaar door elk natuurlijk getal, lager dan of gelijk aan n.
Dus:
We kunnen nu de n buiten het somteken schrijven.
Als we naar de definitie van H_n kijken zien we dus:
Deelstelling 1 is dus bewezen.
Deelstelling 2:
Laten we eens naar kijken
als je naar de linkerkant kijkt, zie je dat het eerste element groter is dan de som van de twee volgende en die is weer groter dan de som van de volgende vier. Dit is makkelijk te bewijzen. Je kan de volgende formule maken.
Wat algebra resulteert in:
Twee tot de macht voor beide kanten.
Deelstelling 3: impliceert
In deelstelling 1 bewezen we:
En in deelstelling 2:
Dit valt te combineren in:
Als en , dan , dus deelstelling 3 is bewezen
Laten we nu wat algebra doen met de nieuwe vergelijking.
Is gelijk aan.
Beide kanten delen door
de 'de macht buiten de vergelijking zetten:
Wat testen met een computerprogramma laat zien dat voor
en voor .
alle waarden van n, lager dan 12070 kunnen met een computerprogramma gecheckt worden (ze kloppen). dit betekent dat:
Klopt dit?
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Snel antwoord: heb je http://oeis.org/A000203 bekeken?
Heb je https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... i_constant bekeken?
Kan je de resultaten die je vond met de computer misschien bewijzen?
Heb je https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... i_constant bekeken?
Kan je de resultaten die je vond met de computer misschien bewijzen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Het is makkelijk na te rekenen.
En:
en dat is sowieso groter dan
ik denk dat er een foutje in mijn computerprogramma zit, waardoor de waarde van het laatste getal zo hoog is. Het is in werkelijkheid zelfs lager dan 12070
maar zitten er geen fouten in het bewijs?
En:
en dat is sowieso groter dan
ik denk dat er een foutje in mijn computerprogramma zit, waardoor de waarde van het laatste getal zo hoog is. Het is in werkelijkheid zelfs lager dan 12070
maar zitten er geen fouten in het bewijs?
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
oeps,
Laatst gewijzigd door Mastrem op 16 jul 2015, 22:55, 2 keer totaal gewijzigd.
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
n = 1000 \implies \sigma(n) = 2340 < 7000 < 1000 * H(1000).Mastrem schreef:
(Ik gebruik PARI/gp om te checken. http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
oeps dat moet zijn en niet
overal in deelstelling 1 trouwens (behalve in deelstelling 1 zelf natuurlijk)
overal in deelstelling 1 trouwens (behalve in deelstelling 1 zelf natuurlijk)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Ik heb bijna aan het eind ergens als een noemer staan:
dat moet zijn
dat moet zijn
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Ik kan die Euler-Mascheroni constante ook gebruiken i.p.v. en dat zou de waarde van het laatste getal (nu 12070) aardig naar beneden halen.
het zou alleen de uiteindelijke formule veel minder mooi maken.
het zou alleen de uiteindelijke formule veel minder mooi maken.
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Laat maar over de Euler-Mascheroni constant, Dat klopt niet.
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Er zijn nog wat terminologie-werk te doen ("vergelijking" in plaats van "ongelijkheid"), maar dat terzijde.
Uit je openingspost:
Wat had je daar willen doen?
Uit je openingspost:
Dit lijkt een (onjuist toegepaste) verzonnen regel .Mastrem schreef:de 'de macht buiten de vergelijking zetten:
Wat had je daar willen doen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
ik wilde het er wat makkelijker uit laten zien. Het mag wel gewoon.
Eerst had ik:
Daarna:
En:
Eerst had ik:
Daarna:
En:
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Probeer (a, b, c) = (64, 16, 2).
(voor positieve c ongelijk aan 1):
(doorgaans)
(doorgaans)
(ook )
(voor positieve c ongelijk aan 1):
(doorgaans)
(doorgaans)
(ook )
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Oja tuurlijk, ik haal wortels en logaritmes door elkaar...
als ik nou het volgende doe:
En:
dit betekent dat steeds dichter bij komt en dus:
Waardoor de ongelijkheid wordt:
En dat is ook niet waar voor alle n. Ik moet dus iets vinden wat altijd groter is dan de delersom is, maar kleiner is dan
als ik nou het volgende doe:
En:
dit betekent dat steeds dichter bij komt en dus:
Waardoor de ongelijkheid wordt:
En dat is ook niet waar voor alle n. Ik moet dus iets vinden wat altijd groter is dan de delersom is, maar kleiner is dan
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Je kan zeggen dat ongelijkheden equivalent zijn aan elkaar, maar niet dat ze gelijk zijn.
Notatie is dan bijv.
De onderste ongelijkheid is alleen waar voor 2 <= n <= 6.
Kan je gebruiken dat delersom multiplicatief is?
Notatie is dan bijv.
De onderste ongelijkheid is alleen waar voor 2 <= n <= 6.
Kan je gebruiken dat delersom multiplicatief is?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)
Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen
Hoe bedoel je multiplicatief?
ik heb wel gevonden dat de dichtheid van de overvloedige getallen tussen de 0,2474 en 0,2480 ligt.
de rest van de getallen heeft een delersom lager of gelijk aan dan 2n (of 3n als je n zelf meetelt)
ik heb wel gevonden dat de dichtheid van de overvloedige getallen tussen de 0,2474 en 0,2480 ligt.
de rest van de getallen heeft een delersom lager of gelijk aan dan 2n (of 3n als je n zelf meetelt)