repeterende decimale getallen als breuk schrijven (boek Jan van de Craats) - opgelost

[Rik T3]

Hallo mensen,

Ik ben mijn wiskunde aan het ophalen met behulp van het boek van Jan van de Craats. Omdat dit boek wel de antwoorden bevat maar niet de uitwerkingen, kan het gebeuren dat je toch ergens tegen aanloopt. Daarom lijkt dit forum een goede plek om mijn vragen te gaan stellen, nu en in de toekomst

Op blz 62 (2e druk) de vragen 8.9 t/m 8.12: hier moet je een repeterend decimaal getal herschrijven als een breuk, bijvoorbeeld: 0.3333333.... wordt 1/3 , maar dit is een eenvoudige natuurlijk.

Vraag (a) 0.2222222... kan je nog met trial/error beantwoorden (2/9) maar dat is natuurlijk niet de bedoeling. Want dan ben je met vraag (d) 0.123123123... wel even bezig (41/333). Ik kan in het boek niet vinden hoe je dit moet aanpakken. Wie kan de methode beschrijven hoe je de niet-vereenvoudigbare breuk kan opsporen?

[arie]

Stel
x = 0.222222222222...
het repeterend deel is 1 cijfer lang, vermenigvuldig links en rechts met \(10^1 = 10\):
10*x = 2.2222222222...
Trek hier nu x van af:
10*x - x = 2.2222222222.... - 0.2222222222.... = 2.0000000000....
ofwel
9*x = 2
x = 2/9

Stel
x = 0.123123123...
het repeterend deel is 3 cijfers lang, vermenigvuldig links en rechts met \(10^3 = 1000\):
1000*x = 123.123123123.....
Trek hier nu x van af:
1000*x - x = 123.123123123.... - 0.123123123.... = 123.00000000...
ofwel
999*x = 123
x = 123/999
nu alleen nog vereenvoudigen: deel teller en noemer door 3:
x = 41/333

Kom je hiermee verder?

[Rik T3]

Arle, je uitwerking is briljant in zijn eenvoud! Veel dank voor de snelle response.

De oplossing bestaat dus feitelijk uit enkele eenvoudige basis-rekenregels; dit is wel een eye-opener om voortaan opgaven als een puzzel te beschouwen (ipv "dit ken ik nog niet"). Alleen zal dit wel meer oefening vragen om die rekeninzichten te verwerven.