Onbepaalde integraal

[arno]

Als je weet dat de afgeleide van arcoos x gelijk is aan , wat is dan de afgeleide van a·arcoos bx?

[SafeX]

Je hebt dit:

(-4/8)*(-1)/sqrt(1-(4x)^2)

Daarvan maak je dit:

4/(8*sqrt(1-(4x)^2))=4/8*(1/4-4x), bedoel je dit?

Dus ben je er bijna.
Alleen na het =-teken staat 4/8*(1/4-4x) en dat kan nooit kloppen, Wat doe je daar met het wortelteken?

Wat is 4/8? Welke breuk staat er dan?

[naomi]

4/(8*sqrt(1-(4x)^2))=1/(2*sqrt(1-(4x)^2))

[SafeX]

4/(8*sqrt(1-(4x)^2))=1/(2*sqrt(1-(4x)^2))

Ja dit is in orde, maar je hebt me niet verteld hoe je aan die uitwerking gekomen bent?
Heb je nu de gegeven integrand terug? (begrijp je de laatste vraag?)

[naomi]

4/8 is 1/2 dus vandaar 1/(2*sqrt(1-(4x)^2)).

Wat bedoel je met Heb je nu de gegeven integrand terug?
Verwijs je met je vraag naar de oorspronkelijke integrand ∫1/(SQRT(4-64(x)^2))dx?

[SafeX]

Vanzelfsprekend. We waren toch bezig de gevonden primitieve te controleren door ...

[naomi]

1/(2*sqrt(1-(4x)^2)) = 1/(sqrt(4)*sqrt(1-(4x)^2)) =1/(sqrt(4)*sqrt(1-16(x)^2)) = 1/(sqrt(4-64(x)^2))

[SafeX]

Prima! En wat vind je er zelf van?

[naomi]

ik heb de indruk dat de integraal nog niet is opgelost. De uiteindelijke oplossing van de
integraal ∫1/(SQRT(4-64(x)^2))dx zou
1/8 arcsin 4x + C moeten zijn.

[SafeX]

OK! Surprise.
Maar je hebt gezien dat onze opl juist is, want ...
Rest aan te tonen dat die opl ook geschreven kan worden als:

integraal ∫1/(SQRT(4-64(x)^2))dx zou
1/8 arcsin 4x + C moeten zijn.

[naomi]

Dus nu is het de bedoeling om deze uitkomst =-1/8(arccos(4x))+c
om te zetten naar onderstaande uitkomst ?
1/8 arcsin 4x + C

[SafeX]

Ja er is een verband tussen arccos(x) en arcsin(x) voor alle x tussen -1 en 1, grenzen inbegrepen. Dat verband wordt bepaald door de formule sin(y)=cos(pi/2 - y).
Ken je ook de grafieken van beide functies? Dat zou wel moeten, eigenlijk.