Eigen bedacht bewijs van limiet correct?

[JeffreyR]

Dit is een vraag uit een Stewart Calculus 5th edition. De eerste regel komt uit het boek, de rest heb ik zelf toegevoegd. Ik heb geprobeerd het format uit het boek aan te houden.




Mijn vragen zijn Is dit correct?
Zo nee, wat niet en waarom?

[SafeX]

Nee, je delta mag alleen van epsilon afhangen en niet van x. Waarom eigenlijk?

[JeffreyR]

Ik snap dat het antwoord nee is, omdat delta alleen van epsilon mag afhangen, zoals in de definitie gegeven wordt. Mijn vraag is nu hetzelfde als die van jou, waarom?

[SafeX]

Wel, dat is dan ook het antwoord: vanwege de definitie.
Maar ook gezond verstand kan helpen, want wat is x eigenlijk?

[JeffreyR]

Ik snap je punt. Het boek gaat ook met een constante werken, als ze het antwoord geven. Maar waarom? Ik zie geen tegenstrijdigheden met de definitie.

Het klopt, epsilon hang van x af bij het kiezen van een delta bij voor het bewijs jah, maar waar staat dat niet mag? Als je voor elke x de definitie van het limiet gewoon klopt, dan is er toch niks aan de hand.

Verklaring:

De exacte definitie is:
als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.


"voor alle x met 0 < ......." kom ik gewoon op uit in min eerste post, omdat elke |x-3| zichzelf wegdeelt in mijn bewijs.

Ook zijn epsilon en delta beiden altijd groter dan nul, ongeacht welke x.

Ik zie dus geen tegenstrijdigheden, algebraïsch gezien.

Daar kom ik op uit als ik logisch nadenk.

[arno]

Het is niet zo dat ε van x afhangt. Als ε > 0 gegeven is moet je een bijbehorende δ > 0 zien te vinden zodat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε. Merk op dat voor x = a+½δ zeker aan
0 < | x - a | < δ voldaan wordt. Er moet dan gelden: | f(a+½δ) − L | < ε. Hieruit vind je bij een gegeven
ε > 0 een bijbehorende δ > 0. Pas dit idee eens toe op deze opgave

[JeffreyR]

Wat is f(x)dan? Bij dat idee van jou?

[arno]

De f die je hier gebruikt staat toch in de opgave die je postte? Je wilt, uitgaande van | x² − 9 | < ε een bijbehorende δ > 0 zien te vinden zodat voor alle x met 0 < | x - 3 | < δ geldt dat | x² − 9 | < ε.

[Sjoerd Job]

Even terugkomend op het `delta met een x er in'... Er zijn meerdere definities voor limieten, maar het lijkt er op dat die in het boek de volgende zal zijn (vertaald)

We schrijven als geldt:

Voor elke is er een zo dat voor elke met , geldt dat .

Dit is een vrij lange zin, maar wat belangrijk is is het volgende: Als je haakjes zou zetten, zou het er als volgt uit zien:

Voor elke (is er een zo dat (voor elke met , geldt dat ())).

Een waarde binnen haakjes (bijvoorbeeld de x) is buiten de haakjes niet bekend! Dus, je weet de x nog niet wanneer je de delta moet kiezen. Mijn favoriete voorstelling is die van een weddenschap, met twee spelers: A en B.
A beweert
B denkt van niet.

We gaan dit als volgt kiezen: B kiest een , in de hoop dat A geen kan vinden.
A geeft aan de hand van de een terug.
B kiest een , met .
A laat zien dat

Nu is het natuurlijk zo dat een ronde van dit spel niet voldoende is als bewijs, dus kan je je voorstellen: Wat als we duizenden spellen zouden spelen. Dan is het handig dat speler A een formule heeft om bij een een te maken. Belangrijk om te weten is dat daarna pas een gekozen wordt. A weet dus nog niet welke B gaat kiezen!

[SafeX]

Ik snap je punt.

"voor alle x met 0 < ......." kom ik gewoon op uit in min eerste post, omdat elke |x-3| zichzelf wegdeelt in mijn bewijs.

Ook zijn epsilon en delta beiden altijd groter dan nul, ongeacht welke x.

Ik zie dus geen tegenstrijdigheden, algebraïsch gezien.

Daar kom ik op uit als ik logisch nadenk.

Je zegt dat je begrijpt wat ik bedoel, maar je geeft geen antwoord op m'n vraag.