a, √(a) en 1.

[DFvK]

Hallo,
Ik heb een Wiskundig vraagstuk wat ik maar niet opgelost krijg.
De opdracht:
"Construeer een lijnstuk van lengte √a, als gegeven zijn: twee lijnstukken van respectievelijk lengte 1 en lengte a."

Ik heb al een aantal dingen geprobeerd:
Het geschreven in de stelling van pythagoras. a en 1 als schuine zijde genomen. Alles ingevuld en gelijkgesteld aan 0. Met de ABC formule toen één oplossing gebruikt (dit was a) en hier toen de wortel van genomen.

Het probleem is, ik mag niet meten. Ik mag enkle mijn liniaal gebruiken om lijnen langs te trekken en mijn passer.


Hopelijk kunnen jullie mij helpen...

[arno]

Ga uit van een rechthoekige driehoek waarin de hoogtelijn op de schuine zijde is gegeven. Deze deelt de schuine zijde in 2 delen. Ga nu met behulp van gelijkvormige driehoeken na wat het verband is tussen de lengte van de hoogtelijn en de lengte van de 2 delen, en pas dat toe om een lijnstuk met lengte √a te construeren.

[arie]

Alternatieve methode:

Stel
- A en B = de uiteinden van lijnstuk a
- l = de lijn door lijnstuk a

Meet lengte 1 af met de passer, teken een cirkel C met straal 1 en middelpunt A.
Noem
- het snijpunt van cirkel C met lijn l tussen A en B punt M,
- het snijpunt van cirkel C met lijn l het verst van B verwijderd N.

Dan is dus:
|BM| = a-1
|BN| = a+1

Construeer m = de middelloodlijn van BM, noem het snijpunt hiervan met l punt P.
Construeer n = de middelloodlijn van BN, noem het snijpunt hiervan met l punt Q.

Dan is nu:
|BP| = (a-1)/2
|BQ| = (a+1)/2

Maak dan cirkel C2 met middelpunt B en straal |BQ|.
Noem 1 van de snijpunten van cirkel C2 met lijn m punt S.

Bepaal de lengte van lijnstuk PS.

EDIT: gecorrigeerd, zie rode letters hierboven

[DFvK]

Arno, ik snap niet precies wat je bedoelt.. Zou je het iets gedetaileerder uit kunnen leggen? Als dat niet te veel moeite is..

Arie, jouw uitleg snap ik al helemaal niet en klopt (volgens mij!) ook niet..
Je zegt op een gegeven moment '|BM| = (a-1)/2' maar moet dit niet zijn: '|BM| = a-(1/2)'?

Want als ik het uitteken klopt het niet, evenmin als de uitkomst.


Misschien zie ik gewoon iets over het hoofd (waarschijnlijk)... Meer uitleg, svp.

[arie]

... klopt (volgens mij!) ook niet...

Je hebt gelijk, ik had A en B verwisseld, mijn eerdere post is hierop gecorrigeerd (rode letters zijn wat ik bedoelde). De rest klopt wel.

Het komt er op neer dat je een rechthoekige driehoek BPS maakt, waarbij:
lengte schuine zijde = BS met |BS| = |BQ| = (a+1)/2
een rechthoekszijde = BP met |BP| = (a-1)/2
de andere rechthoekszijde = PS = antwoord.

[DFvK]

Volgens mij klopt hij nu wel. Ik heb tenminste een tekening kunnen maken (adhv jouw instructies) waarbij ik een lengte 1, lengte a en lengte wortel(a) heb kunnen maken.

Heel erg bedankt, en mijn complimenten dat je hem hebt kunnen oplossen. Ik zat in een totaal verkeerde richting te zoeken.

mvg,

[lapa]

Ik heb precies hetzelfde probleem maar ik kom er nog niet uit met de uitleg die is gegeven. Dus a mag een willekeurige lengte zijn en l ook? maar hoe leg je l dan? En op het einde moet je op een driehoek uitkomen met BS-BP-PS maar ik leg l dan verkeerd denk ik. Want ik kom steeds op de snijpunten in hetzelfde punt.

[SafeX]

Construeer een cirkel met a+1 als middellijn. Noem S het gemeenschappelijk punt van a en 1.
Construeer in S een loodlijn en snijdt deze met de cirkel. Noem dit punt T, dan is ST de gevraagde lengte.
Doe dit bv met lengtes 4 en 1.

[lapa]

Bedankt hij is gelukt dat was wel veel makkelijker dan ik dacht.

[SafeX]

OK. Maar kan je het nu ook aantonen.

[lapa]

Nee maar de andere methode snap ik niet.

[SafeX]

Als je de eindptn van je middellijn A en B noemt, is drh ABT rechthoekig in T (weet je dat?).
De drhkn ABT, ATS en TBS zijn gelijkvormig. Ga dat na. Uit de evenredigheden volgt dan TS²=a*1. Dus ...

[arie]

In de wiskunde zijn er vaak verschillende manieren om een probleem op te lossen, zo ook in dit geval.

Hier nog wat meer uitleg over wat ik gedaan heb:
Ik had eerst lijnstukken BP en BQ gemaakt met lengte (a-1)/2 resp (a+1)/2.
Vervolgens construeren we hiermee een rechthoekige driehoek met
- BQ = schuine zijde, en
- BP = een van de rechthoekszijden.
Via de stelling van Pythagoras bereken je dan de lengte van de andere rechthoekszijde:
PS^2 = ((a+1)/2)^2 - ((a-1)/2)^2.
=(1/4)*[(a^2+2a+1) - (a^2-2a+1)]
=a
Dus |PS| = √a