Kosten minimaliseren

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
SjoerdX
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 16 feb 2015, 11:27

Kosten minimaliseren

Bericht door SjoerdX » 16 feb 2015, 12:23

Beste Wiskundige,

Mijn naam is Sjoerd en ik ben nieuw op dit Forum. Ik ben 2e jaars student economie aan de VU te Amsterdam. Mijn ervaring met wiskunde is niet meer dan de vwo wiskunde en een basis wiskunde voor economische analyses zoals matrixen, integralen, langrange multiplier en winst en kosten functies minimaliseren. Tijdens mijn studie merk ik steeds meer dat ik wiskunde zeer interessant vind en er meer van wil leren. Naast mijn interesse in de economie en wiskunde vind ik natuur en sterrenkunde ook zeer interessant. Tot zover een kleine introductie van mezelf.

Nu volg ik een vak genaamd ruimtelijke economie (zeer interessant). Ik kreeg hiervoor een opdracht om transport kosten te minimaliseren ik zal het vraagstuk proberen te omschrijven. Er zijn drie punten Adam, bedam en cedam, de afstand van bedam naar cedam is 600 km, de afstand van bedam en cedam naar adam is beide 500 km. Bedam is gevestigd in de oorsprong (0,0) Cedam in punt (6,0) en door de stelling van Pythagoras te gebruiken krijg je punt A in (3,4) Bedam en Cedam zijn beide leveranciers en adam is een afzet markt, ik moet een punt bepalen waar ik de fabriek vestig die het product gaat produceren met de inputs van bedam en cedam en vervolgens vervoerd naar de afzet markt in adam. De transport kosten van bedam zijn 4 euro per 100 km, van cedam 9 euro per 100km en van de fabriek naar de afzet markt zijn de kosten 15 euro per 100 km. Om het model iets gemakkelijker te maken zijn wij uitgegaan van het leontief model ( geen substitutie mogelijkheden ). Dit betekent dus dat er evenveel input van bedam en cedam moeten zijn ( aan 2 linkerschoenen en 1 rechter schoen heb je niks ).

Oke de afstand van de fabriek tot de verschillende punten kan met behulp van de stelling van Pythagoras algemeen bepaald worden.
Afstand naar punt Bedam: (X^2+Y^2)^0,5
Afstand naar punt Cedam: ((6-x^2)+Y^2)^0,5
Afstand naar punt Adam: ((X-3)^2+(4-Y)^2)^0,5

Vervolgens kan je de totale transport kosten functie bepalen: 4(X^2+Y^2)^0,5 +9((6-x^2)+Y^2)^0,5 +15((X-3)^2+(4-Y)^2)^0,5
Om deze functie te minimaliseren neem je de de partieel eerste orde afgeleide naar X en Y:

Naar X: 4x/(x^2+y^2)^0,5 + 9(6-x)/(( 6-x)^2+y^2)^0,5 + 15(x-3)/((x-3)^2+(4-y^2))^0,5 = 0
Naar y: 4y/(x^2+y^2)^0,5 + 9y/((6-x)^2+y^2)^0,5 - 15y(4-y)/((x-3)^2+(4-y)^2)^0,5 = 0

Hier liep ik vast, in ons werkcollege op de VU mochten we het met excel solver oplossen, dit vond ik echter wat onbevredigend en wil het graag zelf oplossen. Ik heb wat geprobeerd om te schrijven en de breuken en haakjes weg te werken maar kwam er niet echt uit.

Heeft iemand tips of methoden om dit op te lossen ? Een verwijzing naar literatuur die mij zou kunnen helpen kan ik ook waarderen.

Alvast bedankt

SjoerdX

SjoerdX
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 16 feb 2015, 11:27

Re: Kosten minimaliseren

Bericht door SjoerdX » 17 feb 2015, 20:22

Niemand die mij kan helpen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kosten minimaliseren

Bericht door arie » 18 feb 2015, 17:26

Je hebt een driehoek ABC en zoekt het punt F waarvoor 4*BF + 9*CF + 15*AF minimaal is.
Zo'n punt F zal altijd op of binnen de driehoek liggen (kan je dat bewijzen?).
Stel je hebt zo'n punt F, dan is het voordeliger om de vrachtwagens uit B en C samen het traject AF af te laten leggen:
dit kost (4 + 9) * AF = 13 * AF, terwijl het de vrachtwagen uit A meer kost, namelijk 15 * AF.
En vanwege de driehoeksongelijkheid is BF + FA >= BA
en is CF + FA >= CA.
Dus kan je je fabriek F het best in punt A plaatsen.

Plaats reactie