Complex
Re: Complex
Dan spreken we over gehele getallen van Gauss (= Gaussian integers),
zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Geheel_getal_van_Gauss
Een handig hulpmiddel is http://www.wolframalpha.com/
Als je daar een Gaussian integer invoert, bv
1+3*I
dan levert dan een informatieblad met helemaal onderaan
Gaussian prime factorization:
(1+i)*(2+i)
Als je invoert:
gcd(2-24*I, 1-17*I)
krijg je:
Result:
1+3i
en
Prime factorizations:
2-24i = i*(1+i)^2*(2+i)*(2+5i)
1-17i = -(1+i)*(2+i)*(5+2i)
Kan je gcd(2-24*I, 1-17*I) ook zelf berekenen (met het algoritme van Euclides)?
zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Geheel_getal_van_Gauss
Een handig hulpmiddel is http://www.wolframalpha.com/
Als je daar een Gaussian integer invoert, bv
1+3*I
dan levert dan een informatieblad met helemaal onderaan
Gaussian prime factorization:
(1+i)*(2+i)
Als je invoert:
gcd(2-24*I, 1-17*I)
krijg je:
Result:
1+3i
en
Prime factorizations:
2-24i = i*(1+i)^2*(2+i)*(2+5i)
1-17i = -(1+i)*(2+i)*(5+2i)
Kan je gcd(2-24*I, 1-17*I) ook zelf berekenen (met het algoritme van Euclides)?
Re: Complex
Dank je. Je verwijst naar een mooie pagina.
Je vraag zal ik later proberen te beantwoorden. Schikt nu niet.
Prettige pinksterdagen.
Je vraag zal ik later proberen te beantwoorden. Schikt nu niet.
Prettige pinksterdagen.
Re: Complex
Kan je ggd(2-24*i, 1-17*i) ook zelf berekenen (met het algoritme van Euclides)?
Het recept zegt:
1. Noem het grootste van de beide getallen A, het andere B.
2. Trek B net zo vaak van A af totdat er 0 overblijft of een getal kleiner dan B (A mod B).
3. Wanneer er 0 overblijft, is B de ggd.
4. Zo niet, herhaal dan het algoritme met B en wat er van A over is.
Ik veronderstel, dat ik op de norm moet letten
De norm van 2-24*i is 580 , terwijl N(1-17*i) = 290 is. De eerste is de grootste
(2 - 24i) – (1 - 17i) = 1 – 7i
(2 - 24i) – (1 – 7i) = 1 – 17i
(2 - 24i) – (1 – 17i) = 1 - 7i
Dit wordt een eindeloze lus.
Het antwoord is dan: nee.
Het recept zegt:
1. Noem het grootste van de beide getallen A, het andere B.
2. Trek B net zo vaak van A af totdat er 0 overblijft of een getal kleiner dan B (A mod B).
3. Wanneer er 0 overblijft, is B de ggd.
4. Zo niet, herhaal dan het algoritme met B en wat er van A over is.
Ik veronderstel, dat ik op de norm moet letten
De norm van 2-24*i is 580 , terwijl N(1-17*i) = 290 is. De eerste is de grootste
(2 - 24i) – (1 - 17i) = 1 – 7i
(2 - 24i) – (1 – 7i) = 1 – 17i
(2 - 24i) – (1 – 17i) = 1 - 7i
Dit wordt een eindeloze lus.
Het antwoord is dan: nee.
Re: Complex
Jouw recept geldt voor niet-complexe gehele getallen.
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:
Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:
Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:
herschrijf dit:
dus
q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i
waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)
Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:
Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:
Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:
herschrijf dit:
dus
q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i
waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)
Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?
Re: Complex
Dank voor je toelichting.
Ik kom er op terug. Sociale verplichtingen.
Ik kom er op terug. Sociale verplichtingen.
Re: Complex
Kunt u uw laatste tekst zonder LaTeX schrijven? Dat heb ik nooit geleerd.
(Wel de formule-editor van WORD.)
(Wel de formule-editor van WORD.)
Re: Complex
De LaTeX vertaler lijkt er sinds enkele dagen uit te liggen.
Hieronder nogmaals mijn post, nu alleen in platte tekst:
Jouw recept geldt voor niet-complexe gehele getallen.
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:
Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:
(2-24i) / (1-17i) = 41/29 + (1/29) * i
Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:
(2-24i) / (1-17i) = (1+0i) + ( (12/29) + (1/29) * i )
herschrijf dit:
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
dus
q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i
waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)
Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?
Hieronder nogmaals mijn post, nu alleen in platte tekst:
Jouw recept geldt voor niet-complexe gehele getallen.
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:
Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:
(2-24i) / (1-17i) = 41/29 + (1/29) * i
Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:
(2-24i) / (1-17i) = (1+0i) + ( (12/29) + (1/29) * i )
herschrijf dit:
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
dus
q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i
waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)
Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?
Re: Complex
Dank.
Uit uw tekst:
herschrijf dit:
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
Waardoor wordt( (12/29) + (1/29) * i ) = 1 ???
Als dit uitgelegd is, schat ik in dat ik de procedure kan herhalen.
Ik ben redelijk gewend aan complexe getallen.
Maar nu terug naar de oorspronkelijke vraag:
Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?
Het antwoord blijkt kennelijk ja te zijn maar hoe is de definitie dan?
Uit uw tekst:
herschrijf dit:
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
Waardoor wordt( (12/29) + (1/29) * i ) = 1 ???
Als dit uitgelegd is, schat ik in dat ik de procedure kan herhalen.
Ik ben redelijk gewend aan complexe getallen.
Maar nu terug naar de oorspronkelijke vraag:
Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?
Het antwoord blijkt kennelijk ja te zijn maar hoe is de definitie dan?
Re: Complex
Het laatste product is niet 1-17i maar 1-7i:efdee schreef: (2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
Waardoor wordt( (12/29) + (1/29) * i ) = 1 ???
[(12/29) + (1/29)*i] * (1-17i) =
(12/29) + (1/29)*i - (204/29)*i - (17/29)*i^2 =
(12/29) + (1/29)*i - (204/29)*i + (17/29) =
(29/29) - (203/29)*i =
1 - 7i
Een ggd van 2 Gaussian integers z1 en z2 is een Gaussian integer:efdee schreef: Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?
- dat zowel z1 als z2 deelt (zonder rest)
en
- een zo groot mogelijke norm heeft (er is geen deler van zowel z1 als z2 met een nog grotere norm).
Hier wat uitgebreidere achtergronden (in het Engels):
http://www.math.ucsd.edu/~jverstra/Gaussian1.pdf
Definitie 3.1 daarin is een definitie van de ggd.