logica verzamelingen

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
yh1987
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 07 jun 2019, 15:12

logica verzamelingen

Bericht door yh1987 » 07 jun 2019, 17:31

Hoi,


Wellicht kan ik van jullie wat hulp krijgen voor deze vereenvoudiging.

http://i64.tinypic.com/t00w9c.png

Mijn docente geeft aan op de derde regel dat de roze onderstreepte vereniging een doorsnede moet worden. Nu snap ik dus niet waarom omdat dit niet plaatsvindt bij commutativiteit. Misschien kan ik hulp krijgen van jullie voor de uitwerking van deze formule.

Alvast bedankt


Afbeelding

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3365
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: logica verzamelingen

Bericht door arie » 07 jun 2019, 19:25

Het gaat mis bij De Morgan:

\(((B \cap A^c) \cup B^c)^c\)

geeft eerst:

\(= (B \cap A^c)^c \cap B^{cc}\)

\(= (B \cap A^c)^c \cap B\)

en dan moeten we nogmaals De Morgan toepassen:

\(= (B^c \cup A^{cc}) \cap B\)

\(= (B^c \cup A) \cap B\)

\(= (B^c \cap B) \cup (A \cap B)\)

\(= (A \cap B)\)


Is dit wat je bedoelt?


PS: ik heb in je post de bijbehorende IMG link geplaatst, zodat het plaatje direct zichtbaar is.

yh1987
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 07 jun 2019, 15:12

Re: logica verzamelingen

Bericht door yh1987 » 07 jun 2019, 20:03

Bedankt voor de uitwerking.

ik denk het wel als ik nu de hele formule vereenvoudig kom ik uit op

\(=\emptyset\cup\emptyset\cap\emptyset\)
\(=\emptyset\)

Ik hoop dat ik het nu goed heb gedaan.

Die tweede Morgan had ik inderdaad niet gezien.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3365
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: logica verzamelingen

Bericht door arie » 07 jun 2019, 21:13

Klopt.

Als we het resultaat aanvullen met de rest van de oorspronkelijke uitdrukking, dan krijgen we (heel uitgebreid opgeschreven):
\((A \cap B) \cap (A \cup B)^c\)
\(= (A \cap B) \cap (A^c \cap B^c)\)
\(= A \cap (B \cap (A^c \cap B^c))\)
\(= A \cap ((B \cap A^c) \cap B^c)\)
\(= A \cap ((A^c \cap B) \cap B^c)\)
\(= (A \cap (A^c \cap B)) \cap B^c\)
\(= ((A \cap A^c) \cap B) \cap B^c\)
\(= (A \cap A^c) \cap (B \cap B^c)\)
\(= \emptyset \cap \emptyset\)
\(= \emptyset\)

yh1987
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 07 jun 2019, 15:12

Re: logica verzamelingen

Bericht door yh1987 » 07 jun 2019, 21:30

Heel erg bedankt voor de hulp. Nu is alles duidelijk.

Plaats reactie