vraagstukje..

[ponne]

Hee! ik had hier laatst oefeningen geplaatst en ben er nog steeds mee bezig en zit nog steeds vast :S
Kan er mij iemand zeggen wat ik fout doe?

vraagstuk: ik wil muntstukken van 3 munteenheden, M1,M2 en M3 omwisselen naar euro, of vice versa. Elke wisselbeurt, in welke richting ook, kost me o,2 euro. Bij elke omzetting wordt dezelfde wisselkoers gehanteerd. Voor 20 eenheden van M1, 10 eenheden van M2 en 10 eenheden van M3 ontvang ik 7,3 euro. Voor 11 euro kan ik 120 eenheden van M1, 6 eenheden van M2 en 24 eenheden van M3 krijgen. voor 8 euro krijg ik 96 eenheden van m1, 8 eenheden van M2 en 7 eenheden van M3. Wat zijn de gehanteerde wisselkoersen?

aanloop hier gekregen: Stel x is de wisselkoers voor M1, y is de wisselkoers voor M2 en z is de wisselkoers voor M3. Dit geeft 3 vergelijkingen in x, y en z waaruit x, y en z zijn op te lossen.

ik had het zo gedaan maar het klopt langs geen kanten :S kan er mij iemand vertellen wat ik fout deed?

x = 0,10 december: 15,50 euro
y=0,15 1/2x + 2y +1/3z + t = 15,20
z=0,20
t=5 euro

x+y+z=10,50 x=10,50-y-z
1/2x + 2y +1/3z + t = 15,20 1/2(10,50-y-z) +2y+1/3z = 10,20
y= (4,95+2/3z)2/3 = 3,3 + 4/9z
5,25 - (3,3+4/9z) - z +2(3,3+4/9z) +1/3z = 10,20
5,25 - 3,3 - 4/9z - z +6,6 +8/9z + 1/3z = 10,20
z = - 7,425
Ik heb dus een negatieve waarde :S maar nu dacht ik misschien mag ik die getallen niet zomaar van elkaar aftrekken omdat de ene een echt eenheid is (10,20 euro) en die andere allemaal aantallen (1/2 x euro)?
Ik kom er gewoon echt niet aan uit :S

of moet ik alles van x in 1 vergelijking zetten , alles van y en alles van z?
Ik zal dat nu eens gaan proberen maar hulp is ALTIJD welkom

alvast bedankt!
XO

[arno]

Even wat gegevens bij elkaar: 20 eenheden van M1, 10 eenheden van M2 en 10 eenheden van M3 geven een ontvangst van 7,3 euro. Stel x de koers van van M1, y de koers van M2 en z de koers van M3, dan geldt dus dat 20x + 10y + 10z = 7,3. Dit is dus je eerste vergelijking. Voor 11 euro krijg je 120 eenheden van M1, 6 eenheden van M2 en 24 eenheden van M3, dus 120x + 6y + 24z = 11. Dit is dus je tweede vergelijking. Voor 8 euro krijg je 96 eenheden van m1, 8 eenheden van M2 en 7 eenheden van M3,
dus 96x + 8y + 7z = 8. Je hebt dus de volgende 3 vergelijkingen:
20x + 10y + 10z = 7,3
120x + 6y + 24z = 11
96x + 8y + 7z = 8.

Uit de eerste vergelijking volgt: 10y = -20x-10z+7,3, dus y = -2x-z+0,73. Invullen hiervan in de overige 2 vergelijkingen geeft dan 2 vergelijkingen in x en z waaruit je x en z oplost. Omdat je weet hoe y van x en z afhangt weet je dan ook de waarde van y.

[ponne]

ow wacht! er stond het foute vraagstuk bij :S SORRY! (gelukkig moest ik die ook nog half half maken dus het is niet voor niets geweest )

het juiste vraagstuk: een provider recent voor sms’jes naar klanten van dezelfde provider altijd 10 cent. Voor smsjes naar klanten van een andere providers recent hij 15 cent in de daluren en 20 cent daarbuiten. Per maand betaal je 5 euro lidgeld. De factuur voor de maand December van een klant bedraagt 15,50 euro. Had hij in die maand maar de helft zoveel smsjes verstuurd naar klanten van de eigen provider, een derde zoveel smsjes naar klanten van een andere provider in de daluren en twee maal zoveel smsjes naar klanten van een andere provider buiten de daluren, dan was het factuurbedrag 15,20 euro geweest. Geef alle mogelijkheden voor de in December verstuurde smsjes.

en dit kreeg ik als reactie: Stel de klant stuurde x smsjes naar klanten van de eigen provider, y smsjes naar klanten van een andere provider in de daluren en z smsjes naar klanten van een andere provider buiten de daluren. Dit geeft dus 2 vergelijkingen in x, y en z.

de oefening die hierboven staat had ik dus bij deze gemaakt (maar hij klopte niet..)

[ponne]

om trouwens nog even terug te komen op die andere vraag (die dus eigenlijk fout was...)
Daar kom ik ook nog steeds niet uit :S
Daar heb ik nu dit:

de vergelijking opgeschreven, Y eruit gehaad: y=-2x-z+0,73
dan Y in de andere 2 vergelijkingen ingevuld. De Z eruit gehaald:

108x+18z=6,62
80x-z=2,16 --> z=-2,16-80x
Z in de vergelijking vervangen:

-1332x=45,5 --> X= -o,034159...

ik heb dus een negatieve X-waarde. Dit kan toch niet kloppen :S?
Even helpen misschien?

[arno]

Je fout zit in het uitwerken van 80x-z=2,16. Er geldt dan: z = 80x-2,16.

[ponne]

oke.. ik heb de eerste, nu de tweede nog. Hier loop ik ook weer vast (ofja ik heb hem maar ik kom niets uit :S)

1/2x + 1/3y +2z = 10,20
x+y+z = 10,50 --> z=10,50-x-y

1/2x + 1/3y +2(10,50-x-y) = 10,20
x+y+(10,50-x-y) = 10,50

-3/2x - 5/3y = -10,80 --> x = 7,2 - 10/9y
10,50 = 10,50 :S

-3/2 (7,2 - 10/9y) - 5/3y = -10,80 --> -10,80 = -10,80 :S

dus... nu heb ik nog geen oplossing :S

[arno]

Even opnieuw de gegevens op een tijtje: voor sms-jes naar klanten van dezelfde provider wordt 10 cent per sms-je gerekend, voor sms-jes naar klanten van een andere provider wordt binnen de daluren 15 cent per sms-je gerekend, en voor buiten de daluren 20 cent. Het lidgeld per maand is 5 euro.
Iemand betaalt voor december in totaal 15,50 euro. Als het aantal sms-jes naar dezelfde provider de helft van dat aantal was geweest, het aantal sms-jes naar klanten van een andere provider binnen de daluren een derde van dat aantal was geweest, en het aantal sms-jes naar klanten van een andere provider buiten de daluren 2 maal dat aantal was geweest, zou er 15,20 euro zijn betaald. Stel de klant stuurde x smsjes naar klanten van de eigen provider, y smsjes naar klanten van een andere provider in de daluren en z smsjes naar klanten van een andere provider buiten de daluren, dan komt dat neer op een totaal van 0,1x+0,15y+0,2z+5 = 15,5, ofwel 0,1x+0,15y+0,2z = 10,5. Verder geldt dat 0,05x+0,05y+0,4z+5 = 15,2, dus 0,05x+0,05y+0,4z = 10,2.
We hebben nu de vergelijkingen
0,1x+0,15y+0,2z = 10,5
0,05x+0,05y+0,4z = 10,2.
Uit de eerste vergelijking halen we: x =-1,5y-2z+105. Invullen in de onderste vergelijking geeft dan: -0,025y+0,3z = 4,95. Stel y = t, dan geldt: -0,025t+0,3z = 4,95, dus 0,3z = 0,025t+4,95, dus 12z = t+198, dus en . Dit geeft dus een oplossing voor x, y en z uitgedrukt in t. Bepaal nu die waarde van t waarvoor x≥0.

[ponne]

Oke.. ik snap hoe je het met de cijfers hebt gedaan
maar ik ben het kwijt vanaf dat je de z gaat elimineren..
dan snap ik nog hoe je krijgt z=1/12t + 16,5
maar dan x=.... daar kom ik dan wat anders uit :S
ik krijg namelijk: x= -5/3t +72

bewerking: x= -1,5t - 2(1/12t +16,5) +105
= -1,5t - 1/6t - 33 +105
= -5/3t +72

doe ik nu nog wat fout? :S

En dan moest ik de t berekenen, maar hoe kan ik dan de t berekenen? want ik heb nu 2 functies dus moet ik die dan gelijkstellen en dan de t elimineren :S?
XO

[arno]

Ik had bij de berekening van x een rekenfout gemaakt. Het antwoord dat je voor x vond klopt inderdaad.
Even een toelichting met betrekking tot het invoeren van t: we hebben 2 vergelijkingen met 3 onbekenden, dus het is niet mogelijk om hieruit voor x, y en z één waarde te vinden die aan beide vergelijkingen voldoet. Wat we wel kunnen doen is om x, y of z zolang bekend te veronderstellen door hier een waarde (in dit geval t) aan toe te kennen en de overige onbekenden ook in deze waarde uit te drukken. Je weet dat x, y en z minimaal 0 moeten zijn, dus dat betekent dat je voor t een bepaalde ondergrens kunt aangeven waarvoor dat geldt.
Nog even een verdere toelichting met betrekking tot het invoeren van t: we hebben 2 vergelijkingen met 3 onbekenden, die ieder meetkundig gezien een vlak voorstellen, dus we zoeken de doorsnede van die 2 vlakken. Daarbij kunnen zich de volgende situaties voordoen: de vlakken lopen evenwijdig of ze lopen niet evenwijdig. In het eerste geval is er geen oplossing voor de 2 vergelijkingen, en in het tweede geval snijden de vlakken elkaar volgens een snijlijn die nog van 1 parameter (in dit geval t) afhangt.
We weten inmiddels dat , y = t en de gezochte waarden voor x, y en z uitgedrukt in t voorstelt. Omdat x, y en z minimaal 0 moeten zijn moet dus gelden: , t≥0 en . Voor t≥0 is automatisch aan voldaan, dus hoef je alleen nog maar te kijken voor welke t aan voldaan wordt.