Rechten in een oppervlak

[jeroen870]

Hey,

Ik heb een vraagje, kben er al even naar opzoek, maar ik schijn het niet te vinden.
Het vraagstuk gaat als volgt:

Door een punt p(1, -1, -2) van het oppervlak M:2xy=z gaan twee rechten die volledig in dit oppervlak gelegen zijn.
Hoe bepaal ik dan een stelsel cartesische vergelijkingen voor deze rechten?

Het zou iets moeten zijn door te vertrekken van een SPV (stelsel parameter vergelijking) van een willekeurige rechte die door p gaat.

Kan iemand mij helpen?

Alvast bedankt!

[arno]

Veronderstel dat de ene rechte door de parametervoorstelling (x,y,z) = (1, -1, -2)+t(a,b,c) en de andere door de parametervoorstelling (x,y,z) = (1, -1, -2)+u(p,q,r) gegeven is, dan moet gelden:
2(1+at)(-1+bt) = -2+ct en 2(1+pu)(-1+qu) = -2+ru, dus 2(-1+(b-a)t+abt²) = -2+ct en
2(-1+(q-p)u+pqu²)= -2+ru, dus -2+2(b-a)t+2abt² = -2+ct en -2+2(q-p)u+2pqu²= -2+ru,
dus 2(b-a)t+2abt² = ct en 2(q-p)u+2pqu²= ru, dus c = 2(b-a) en ab = 0 en r = 2(q-p) en pq = 0. Stel a = 0, dan geldt: c = 2b, dus dit geeft de rechte (x,y,z) = (1, -1, -2)+t(0,1,2). Stel q = 0, dan geldt: r = -2p, dus dit geeft de rechte (x,y,z) = (1, -1, -2)+u(1,0,-2).

[jeroen870]

Mmm, ik snap wel ongeveer wat je hebt gedaan. En ik heb dit ook al via deze weg geprobeerd. Maar ik zou een stelsel cartesische vergelijkingen moeten hebben.

In dit geval zou dat het volgende zijn:
x=1, z=2y
y=-1, z=-2x

Weet jij dus hoe je aan dit CV stelsel komt?

[arno]

Mmm, ik snap wel ongeveer wat je hebt gedaan. En ik heb dit ook al via deze weg geprobeerd. Maar ik zou een stelsel cartesische vergelijkingen moeten hebben.

In dit geval zou dat het volgende zijn:
x=1, z=2y
y=-1, z=-2x

Weet jij dus hoe je aan dit CV stelsel komt?

Laat (a,b,c) een gegeven richtingsvector zijn en laat P(p,q,r) het punt van de lijn met deze richtingsvector zijn, dan is de vergelijking van de lijn door dat punt gelijk aan . Voor a = 0 geeft dit als de gezochte vergelijking, voor b = 0 geeft dit als de gezochte vergelijking, en voor c = 0 geeft dit als de gezochte vergelijking.