'Genormaliseerde' eigenvector?

Coen Smits · Bericht door **Coen Smits** » 13 jun 2010, 12:19

Beste allen,

Wederom een vraagje over een uitgewerkt differentiaal voorbeeld. Heb er maar even een foto van gemaakt, omdat dat wat duidelijk is dan wanneer ik het hier uitschrijf:

http://i46.tinypic.com/2z4ft37.jpg

Mijn probleem is het stukje vanaf: ...provided that the eigenvectors of A are normalized so that (xi, xi) = 1.

Nu heb ik gevonden dat het normaliseren van eigenvectoren x' x = 0 geeft (??). Maar hoe valt dan de 1/Sqrt(2) die voor de T Matrix staat te verklaren? Iemand die dit kan uitleggen?

simops · Bericht door **simops** » 13 jun 2010, 13:17

Door een vector te normaliseren zorg je ervoor dat zijn norm gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld stel vector $v = (1,0)$ . Zijn norm is $<v,v> = \sqrt{v\cdot v^T} = \sqrt{1} = 1$ .
Nu is het eenvoudig om in te zien dat we een willekeurige vector kunnen normeren door de vector te delen door zijn norm.

Vandaar dat men de eigenvectoren in uw voorbeeld deelt door $\sqrt{2}$ , de norm van de vectoren.

Coen Smits · Bericht door **Coen Smits** » 13 jun 2010, 15:56

Bedankt voor je reactie; ik begin het te begrijpen.

Wat ik nog niet zo goed begrijp ik hoe ik dat in mijn voorbeeld terug moet zien. Er wordt gesproken over ( $\xi, \xi$ ) = 1, maar zoals je kunt zien zijn er 2 eigenvectoren (xi's), waaruit de samengestelde matrix wordt opgesteld. Omdat het kwadraat van beide vectoren (1,1) is, snap ik nog niet welk getal waarvan afhangt.

Stel nu dat $\xi _{1}=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}$ en $\xi _{2}=\begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}$ , dan zou de samengestelde matrix $\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 2 &4 \end{bmatrix}$ zijn, maar wat zou er dan voor de matrix komen te staan als de vectoren genormaliseerd zijn? $\frac{1}{\sqrt{??}}$

simops · Bericht door **simops** » 14 jun 2010, 10:26

Ik denk dat men die $\frac{1}{\sqrt{2}}$ er voorplaats omdat de norm voor beide vectoren toch dezelfde is. Eigenlijk zou men dit moeten schrijven om het duidelijker te maken:
$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$
In het geval van 1,2,3 en 4 wordt dit dan
$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{3}{5}\\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{4}{5}\end{pmatrix}$
Omdat de norm van de vector $(1,2)$ $\sqrt{5}$ is en de norm van vector $(3,4)$ $\sqrt{9+16} = 5$ is. Men zou hier dus weer $\frac{1}{\sqrt{5}}$ buiten de matrix kunnen brengen, maar dit is niet nodig.

Coen Smits · Bericht door **Coen Smits** » 14 jun 2010, 10:29

Bedankt!

Ik begrijp nu waar de waardes vandaan komen.

Voor mij is de vraag uit de startpost beantwoord

Wiskundeforum

'Genormaliseerde' eigenvector?

'Genormaliseerde' eigenvector?

Re: 'Genormaliseerde' eigenvector?

Re: 'Genormaliseerde' eigenvector?

Re: 'Genormaliseerde' eigenvector?

Re: 'Genormaliseerde' eigenvector?