In de cursus partiële differentiaalvergelijkingen hebben we een deel Fouriertransformatie gezien omdat deze handig kan zijn om een differentiaalvergelijking gemakkelijk op te lossen. Om zo'n transformatie uit te rekenen hebben we een korte inleiding gekregen op complexe analyse. Namelijk de stelling van Cauchy-Goursat en de Residustelling. Hier heb ik enkele vragen bij.
Wanneer precies moet je die complexe analyse om integralen op te lossen precies toepassen?
In een voorbeeld in de cursus hebben we een voorbeeld gezien waarbij de Fourier van
^2))
bepaald moet worden. Dus de integraal
^2)-2\pi i k x) dx)
die na een beetje uitwerken het volgende wordt:
\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\pi(x+ik)^2)) dx)
. Nu staat er dat we niet kunnen substitueren met
omdat dit niet mogelijk is in
. Dit begrijp ik wel, maar in een ander voorbeeld rekenen we de integraal
t) dx)
toch gewoon uit zoals we anders een exponentiële functie zouden uitrekenen. Dan wordt dit
. Ik vraag mij dus af wanneer iets een complexe functie is. Ofwel wanneer je een integraal gewoon mag uitrekenen en wanneer moet je via een complexe analyse werken.
Dan een vraag over de complexe analyse zelf. Hoe weet je welke contour je moet kiezen om een bepaalde functie uit te rekenen. In het voorbeeld
is een rechthoek bepaald -L tot L horizontaal naar rechts op de x-as, dan naar verticaal naar boven van L tot L+it, terug horizontaal naar links van L+it tot -L+it en terug naar beneden van -L+it tot -L. Hoe weet men hier bijvoorbeeld dat men met deze contour tot een gewenst resultaat zal komen. Dat dus wanneer L naar oneindig gaat enkel de uitdrukking
\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\pi x^2) dx - \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\pi(x+it)^2))
en dus zo de integraal op te lossen is?
Alvast bedankt.
