Wiskundeforum

Het is al weer een heel tijdje geleden dat ik Reele Vectorruimten heb gezien en ik was het terug wat aan het opfrissen. Ik probeerde daarom enkele (''gemakkelijke'') oefeningen.

Gevraagd:
Zij de vector p een lineaire combinatie van de vectoren en als elk van de vectoren een lineaire combinatie is van de vectoren dan is de vector p een lineaire combinatie van de vectoren . Bewijs dit.

Omdat de vector een lineaire combinatie is van de gegeven vectoren geldt er:

En:


...
Dus ik kan schrijven:


Maar heb ik hiermee dan de stelling bewezen?

Om het nog duidelijker te maken, zou je die laatste stap nog uit kunnen schrijven. Maar bewezen is het zo wel, je hebt namelijk gewoonweg die willekeurige vector als lineaire combinatie geschreven. Dat dat kon, moest je bewijzen.

Huibert schreef:Om het nog duidelijker te maken, zou je die laatste stap nog uit kunnen schrijven. Maar bewezen is het zo wel, je hebt namelijk gewoonweg die willekeurige vector als lineaire combinatie geschreven. Dat dat kon, moest je bewijzen.

Ok! Bedankt voor je reactie .

Ik kwam de notatie tegen. Wat betekent dit eigenlijk?

Opgave:
Als een basis is van en als dan is ook een basis van
Toon dit aan.

Opdat de vectoren een basis vormen moeten ze lineair onafhankelijk zijn en wil dat zeggen dat ik er geen enkele van als een lineaire combinatie van de overige kan schrijven en bovendien moet elke vector van die basis kunnen geschreven worden als een lineaire combinatie van die drie basisvectoren kan geschreven worden.

Stel is een vector die tot de basis behoort dan moet er voor p gelden:


Bijgevolg is dus ook een basis.

Graag commentaar.

De notatie vct ken ik niet. In welke context stond dit? En betekent dit niet gewoon vector?

Ook je notatie voor de vectorruimte snap ik niet helemaal. Ik denk dat je het hebt over een willekeurige vectorruimte V over , maar wat bedoel je met het +-teken?

Ik denk wel dat ik de opgave goed begrijp. Maar je hebt het op deze manier nog niet helemaal aangetoond. Wat je hebt aangetoond, is dat elke vector uit de vectorruimte als een lineaire combinatie van deze drie vectoren te schrijven is. Je hebt nog niet aangetoond dat ze lineair onafhankelijk zijn. Dit is redelijk simpel, maar als je het goed wil doen, moet je dat wel even aantonen.

Huibert schreef:De notatie vct ken ik niet. In welke context stond dit? En betekent dit niet gewoon vector?

Ook je notatie voor de vectorruimte snap ik niet helemaal. Ik denk dat je het hebt over een willekeurige vectorruimte V over , maar wat bedoel je met het +-teken?

Ik denk wel dat ik de opgave goed begrijp. Maar je hebt het op deze manier nog niet helemaal aangetoond. Wat je hebt aangetoond, is dat elke vector uit de vectorruimte als een lineaire combinatie van deze drie vectoren te schrijven is. Je hebt nog niet aangetoond dat ze lineair onafhankelijk zijn. Dit is redelijk simpel, maar als je het goed wil doen, moet je dat wel even aantonen.

Deze notatie 'vct' kwam ik tegen in een nogal redelijk oud boek, het zou kunnen dat het gewoon vector betekent.

Dat + teken staat ervoor dat de optelling is gedefinieerd in een reele vectorruimte. Ik heb deze notatie altijd zo aangeleerd. Hoe zou jij het dan schrijven?

Aantonen dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn, ik dacht aan een beroep te doen op een stelling:
Als vectoren zijn van een reele Vectorruimte en bovendien dan geldt er dat:

[/tex]

Stel dus dat de vector p de nulvector is en we weten dat de vectoren lineair onafhankelijk zij dan geldt er:

Ingevuld zou dat moeten zeggen dat een basis is maar dat kan niet want dan zouden de vectoren lineair afhankelijk moeten zijn dus bijgevolg zijn de vectoren lineair onafhankelijk.

Ik heb geleerd dat er op een vectorruimte per definitie een optelling gedefinieerd is.

Ik zal hieronder een volledig bewijs geven van de stelling (en dan in een iets algemenere zin, want ik zie niet in waarom er beperkt wordt tot reële vectorruimten), want ik zag dat ik nog iets in je vorige bewijs over het hoofd heb gezien.

Stelling:
Als V een vectorruimte is over en vormen een basis van V, dan vormen met een basis van V.

Bewijs:
Zij . Dan is v te schrijven als:


met:

Stel nu dat:



met:

dan volgt per definitie dat:



en dus:



Dit omdat de k's niet nul mogen zijn (dan zou je een nulvector in je basis krijgen en heb je dus geen basis meer)

Hiermee volgt dat elke vector v uit V te schrijven is als een lineaire combinatie van het stelsel en dat dit stelsel lineair onafhankelijk is en hiermee volgt dus de stelling.

Mooi bewijs , ik zie nu dat mijn bewijs wel in de goede richting zat, maar niet zo uitgewerkt en volledig is als dat van u.

Ik vind het leuk om zelf eigenschappen of stellingen proberen te bewijzen dus ik zal er zeker nog wel posten.

Al erg bedankt voor je hulp!

Het kan ook nog wel sneller. Als je aantoont dat die drie vectoren onafhankelijk zijn, ben je eigenlijk al klaar. Dit omdat als één basis in een vectorruimte uit drie vectoren bestaat, alle bases in die vectorruimte uit drie vectoren bestaan. Maar ik wist niet of je die stelling al gezien had.

En ik heb nog wel een leuke stelling voor je om te bewijzen:

Dim(Ker(T)) + Dim(Range(T)) = Dim(V)

Waarbij T een lineaire transformatie van V naar W.

Huibert schreef:Het kan ook nog wel sneller. Als je aantoont dat die drie vectoren onafhankelijk zijn, ben je eigenlijk al klaar. Dit omdat als één basis in een vectorruimte uit drie vectoren bestaat, alle bases in die vectorruimte uit drie vectoren bestaan. Maar ik wist niet of je die stelling al gezien had.

En ik heb nog wel een leuke stelling voor je om te bewijzen:

Dim(Ker(T)) + Dim(Range(T)) = Dim(V)

Waarbij T een lineaire transformatie van V naar W.

Het zou kunnen dat ik die stelling ooit gezien heb, maar dat weet ik niet meer goed. Voor je volgende vraag:
Ik zie er dimensie en kern van een vectorruimte in, maar het begrip 'kern en range' heb ik nog niet gezien, ik heb er wel al over gehoord. Misschien dat u er wat meer over kan vertellen. Ook lineaire transformaties, lineaire afbeeldingen, ... heb ik nog niet gezien.

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding

Als je na het lezen van die wikipedia pagina nog vragen heb, stel je ze maar. Dit zijn trouwens allemaal dingen uit de lineaire algebra. Erg interessant allemaal, ook al heb ik er nog niet heel veel van gehad.

Huibert schreef:Als je na het lezen van die wikipedia pagina nog vragen heb, stel je ze maar. Dit zijn trouwens allemaal dingen uit de lineaire algebra. Erg interessant allemaal, ook al heb ik er nog niet heel veel van gehad.

Ja, lineaire algebra vind ik opzich wel interessant, omdat het zo abstract is wat het nogal moeilijk maakt. Ik vind het in ieder geval moeilijker dan analyse. Maar ik zal er eens een kijkje naar nemen .

Ik weet nu wat de notatie 'vct' betekent, bijvoorbeeld als er zou staan: , dit is de de verzameling van de lineaire combinaties van de vectoren .

Huibert schreef:
Dim(Ker(T)) + Dim(Range(T)) = Dim(V)

Waarbij T een lineaire transformatie van V naar W.

Over dit bewijs ga ik nog eens nadenken, ik ben al bekend met de begrippen kern en dimensie e.d, maar ik moet er nog wat met leren werken .