Wiskundeforum

@ Huibert:
Ik heb het even met die andere berekent:
$\lim_{y \to 0} \left(\cos \sqrt{2y} \right)^{\frac{1}{y}}$
$=\lim_{y \to 0} e^{\frac{\ln \left(\cos \sqrt{2y} \right)}{y}}$
$=\lim_{y \to 0} e^{\frac{-\sin \sqrt{2y}\cdot \frac{1}{\sqrt{2y}}}{\cos \sqrt{2y}}$
$=\lim_{y \to 0} e^{\frac{-\tan \sqrt{2y}}{\sqrt{2y}}$
$=\lim_{y \to 0} e^{\frac{-1}{\cos^2\sqrt{2y}}$
$= e^{\lim_{y \to 0}\frac{-1}{\cos^2\sqrt{2y}}$
$= e^{-1}$

Volgens mij klopt je stap van tan naar 1/cos^2 niet. Neem maar eens y = 0. Maar verder zit je op de goede weg.

Misschien is y = 0 niet een goed voorbeeld, omdat die niet in het domein van de functie zit (verder geeft het al wel aan dat de gelijkheid niet klopt). y = 2 Pi^2 is een ander voorbeeld. Misschien moet je een stap eerder kijken. Weet je waar Sin(x)/x naar toe gaat als x naar 0 gaat?

Huibert schreef:Misschien is y = 0 niet een goed voorbeeld, omdat die niet in het domein van de functie zit (verder geeft het al wel aan dat de gelijkheid niet klopt). y = 2 Pi^2 is een ander voorbeeld. Misschien moet je een stap eerder kijken. Weet je waar Sin(x)/x naar toe gaat als x naar 0 gaat?

Ja, ik kan me herinneren dat dat een speciale limiet was, volgens mij:
$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

Ik zie het denk ik, want er staat in de teller:
$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin \sqrt{2y}}{2y}=-1$

en in de noemer staat: $\lim_{y \to 0} \cos \sqrt{2y} = 1$

Dus -1/1 = -1 dus zo krijg ik e^(-1).

Dat is inderdaad correct.

Huibert schreef:Dat is inderdaad correct.

Ok! Bedankt voor de hulp

(ook aan SafeX).
Limieten zijn zeer belangrijk volgens mij en komen nog veel terug op universiteit denk ik ermee dat ik soms eens een limiet probeer te maken.

Kinu schreef: $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin \sqrt{2y}}{2y}=-1$

De eerste limiet is een standaardlimiet. Begrijp je die zonder rekenwerk?

Tweede limiet: Verklaar eens aan de hand van de eerste limiet wat je hier doet?

SafeX schreef:
Kinu schreef: $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin \sqrt{2y}}{2y}=-1$
De eerste limiet is een standaardlimiet. Begrijp je die zonder rekenwerk?

Tweede limiet: Verklaar eens aan de hand van de eerste limiet wat je hier doet?

Die standaardlimiet begrijp ik zonder rekenmerk. Als extra controle is l'Hopital hier handig en dat geeft zo de uitkomst.

Gewoon een kleine substitutie, stel dat $\sqrt{2y} \to 0$ en ik stel dat $\sqrt{2y}=u$
dan geldt er ook dat $u\to 0$ . Dus ik krijg:
$-\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=-1.1=-1$

Dus bijgevolg:
$\lim_{\sqrt{2y}-> 0}\frac{-\sin \sqrt{2y}}{\sqrt{2y}}=-\lim_{ \sqrt{2y}-> 0}\frac{\sin \sqrt{2y}}{\sqrt{2y}}=-1.1=-1$

Kinu schreef: Gewoon een kleine substitutie, stel dat $\sqrt{2y} \to 0$ en ik stel dat $\sqrt{2y}=u$
dan geldt er ook dat $u\to 0$ . Dus ik krijg:
$-\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=-1.1=-1$

In de noemer staat geen $\sqrt{2y}=u$ , maar 2y !!!

Kinu schreef:Die standaardlimiet begrijp ik zonder rekenmerk.

Leg dat eens zonder l'Hopital uit ... ?

SafeX schreef:
Kinu schreef: Gewoon een kleine substitutie, stel dat $\sqrt{2y} \to 0$ en ik stel dat $\sqrt{2y}=u$
dan geldt er ook dat $u\to 0$ . Dus ik krijg:
$-\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=-1.1=-1$
In de noemer staat geen $\sqrt{2y}=u$ , maar 2y !!!

Kinu schreef:Die standaardlimiet begrijp ik zonder rekenmerk.
Leg dat eens zonder l'Hopital uit ... ?

Ik zie nu dat daar eigenlijk een wortel moet staan in de noemer.

En zonder de l'Hopital uitleggen. Ik heb daar ooit een hele afleiding voor gezien, die kan ik eventueel wel geven. Maar verwacht je dat? Of verwacht je meer iets intuitief? ...

En zonder de l'Hopital uitleggen.

Denk eens aan de grafiek van y=sin(x) en y=x en bekijk dat eens in de buurt van x=0.

Kinu schreef: Ik zie nu dat daar eigenlijk een wortel moet staan in de noemer.

Maar die wortel staat er nu niet, dus ...

Wiskundeforum

Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten

Re: Limieten