Laplace en Fourier

[Bert Hannon]

Dag allen,

Ik ben nieuw op dit forum en hoop dat jullie me op weg kunnen zetten. Van opleiding ben ik geen wiskundige, maar een elektrotechnisch ingenieur. Bij het opbouwen van een analytisch model voor een elektrische motor kwam ik volgend probleem tegen...

De op te lossen differentiaalvergelijking is een Laplace vergelijking. Ik heb de oplossing geschreven als:

Waarbij dus een fundamentele periode van 2pi/Ns verondersteld wordt.
Nu wil ik graag de fundamentele periode op delta (< 2pi/Ns) krijgen, maar wel de machten van r op |lNs| en -|lNs| houden. Mijn idee was gewoon een exponentiële fourier serie te maken waarbij de constanten bepaald worden aan de hand van de originele functie zoals hierboven afgebeeld, maar met de nieuwe fundamentele periode: delta.

De bekomen functie voldoet dan, volgens mij, echter niet meer aan de Laplace vergelijking. Is dat mogelijk? Ik dacht dat ze er sowieso wel aan zou voldoen aangezien het over dezelfde functie gaat, alleen in een ander domein.

Alvast bedankt voor de hulp,
Bert Hannon
PhD student
Universiteit Gent

[wnvl]

De wetten van Maxwell, dus. Je wil het elektrische veld in een ladingsvrij gebied in je motor berekenen, veronderstel ik. Juist???

Wat je wil doen komt eigenlijk neer op het schrijven van een sinus met frequentie f als een som van sinussen met frequentie verschillend van f. De periode van je Fourier reeks ligt echter vast, dus liggen je frekwenties ook vast.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

[Bert Hannon]

Dag wnvl,

Alvast bedankt voor je antwoord. Blij dat je bekend bent met het probleem. De differentiaalvergelijking wordt inderdaad opgesteld aan de hand van de wetten van Maxwell.
Ik probeer echter niet het elektrische veld, maar het magnetische veld te reconstrueren. Dat gebeurt aan de hand van de magnetische vector potentiaal (http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_potential).

Ik weet niet of ik volledig snap wat je bedoelt. Eigenlijk probeer ik iets van de vorm e^{I2*pi*f1*phi} te herschrijven als een som van e^{I2*pi*k*f2*phi}, maar dat komt inderdaad goed overeen met wat je zegt over sinussen. De periode van de Fourier reeks ligt volgens mij echter niet vast...
Stel dat je de functie sin(x) met periode 2pi hebt en je ben eigenlijk maar geïnteresseerd in het interval [0,pi/2]. Dan kan je een functie beschouwen die periodiek is met periode pi/2, maar in elke periode wel beschreven wordt door sin(x). Dat is wat ik probeer te doen.

Mijn probleem is echter dat ik start van een functie (periode 2pi/Ns) die voldoet aan de Laplace differentiaalvergelijking. Maar dat blijkt dat, na herschalen naar periode delta (zoals hierboven beschreven) dat niet meer het geval is. Dat lijkt mij erg vreemd.

[wnvl]

Ik probeer echter niet het elektrische veld, maar het magnetische veld te reconstrueren. Dat gebeurt aan de hand van de magnetische vector potentiaal (http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_potential).

Je zoekt dus de statische magnetische vectorpotentiaal in een gebied zonder stromen. Ik ken het domein, maar dan eerder vanuit het standpunt van radiogolfvoortplanting en antenneberekeningen, dan wel voor toepassingen in de sterkstroom. Maar uiteindelijk komen de berekeningen op hetzelfde neer.

Stel dat je de functie sin(x) met periode 2pi hebt en je ben eigenlijk maar geïnteresseerd in het interval [0,pi/2]. Dan kan je een functie beschouwen die periodiek is met periode pi/2, maar in elke periode wel beschreven wordt door sin(x). Dat is wat ik probeer te doen.

Dan krijg je dus zo'n discontinue functie bestaande uit een sinus tussen 0 en Pi/2 die altijd maar herhaald wordt.

Mijn probleem is echter dat ik start van een functie (periode 2pi/Ns) die voldoet aan de Laplace differentiaalvergelijking. Maar dat blijkt dat, na herschalen naar periode delta (zoals hierboven beschreven) dat niet meer het geval is. Dat lijkt mij erg vreemd.

Het gaat dus over een kwestie van "aanvoelen". Als ik kijk naar de Laplace operator in sferische coordinaten

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator

verwondert het mij eigenlijk niet dat je niet zomaar de periode van je hoek kan aanpassen en dat je oplossing automatisch blijft voldoen aan de Laplacevgl.

[Bert Hannon]

Eigenlijk modeleer ik dynamisch, we zoeken dus een tijdsafhankelijke vector potentiaal, maar voor het probleem zoals hier beschreven maakt dat niet uit.

Dat van die discontinue functie klopt inderdaad, we zijn dan ook enkel geïnteresseerd in het interval [delta_i,delta_i+delta] (statisch verondersteld).
Het gaat inderdaad over aanvoelen... Mijn idee is: je heb een bepaald functie in het interval [delta_i,delta_i+2pi/Ns] die functie voldoet (in het volledige interval) aan Laplace. In een tweede stap neem je dezelfde functie maar dan in het interval [delta_i,delta_i+delta]. Ik verwacht dan dat die functie ook daar aan Laplace voldoet.
Wat bedoel je met "verwondert het mij eigenlijk niet dat je niet zomaar de periode van je hoek kan aanpassen en dat je oplossing automatisch blijft voldoen aan de Laplacevgl."? Misschien is het hier mijn gebrek aan wiskundige vorming, maar waarom verwondert dat je niet?

[wnvl]

Wat je doet is de periode over de hoek inkrimpen of uitrekken, hierdoor verandert de afgeleide in de richting van de hoek. Mijn aanvoelen is dat dat ook een aanpassing vergt in de richting loodrecht daarop, de r richting om toch nog aan de Laplacevergelijking te blijven voldoen. Vandaar dat het mij niet verwondert. Maar zoals gezegd, het is een gevoel, uiteindelijk moeten de vergelijkingen oordelen over wat correct is.

[Bert Hannon]

Dat de periode verandert wilt toch niet zeggen dat de afgeleide naar phi ook verandert? Of zie ik dat verkeerd?

[wnvl]

Neem sin(x) en sin(ax). Dit zijn dezelfde functies maar met een andere periode.
De afgeleide van beide functies naar x is toch verschillend in een bepaald punt.

[Bert Hannon]

Akkoord, maar daar bekijk je één harmonische. De totale functie blijft toch sin(x) en de afgeleide blijft dus dezelfde. Dat was mijn redenering...

[wnvl]

De Fourier getransformeerde van een sinus zijn twee Dirac impulsen op de specifieke frekwentie van de sinus, je kan een sinus echt niet samenstellen met andere frekwenties.

[Bert Hannon]

Ik denk dat ik nu tegen mijn beperkte achtergrondkennis aan loop... Ik zie niet in waar die Dirac impulsen vandaan komen.

Stel dat je de functie f(x)=sin(x) hebt in een interval [0,pi/2]. Je kan een Fourier serie maken van die functie met basisperiode pi/2.
Mijn redenering was dan:

dus...

waaruit dan weer...


Ik heb het eens uitgewerkt in een Maple bestandje, maar daar kom ik inderdaad uit dat bovenstaande redenering niet klopt... Ik versta nochtans echt niet waar de fout kan zitten.
Ik heb geprobeerd het bestand toe te voegen aan dit bericht maar .mw's aanvaard hij niet en als ik het in PDF probeer up te loaden zegt hij "Sorry, de forum bijlagequota is bereikt".

Nog eens een dikke merci om de tijd te nemen mijn vragen te beantwoorden...

[wnvl]

Met die Dirac impulsen doelde ik wel op de Fourier transformatie. Merk op dat er een verschil is tussen Fourier transformatie en Fourier reeks.

Ik snap niet waarom je de magnetische potentiaal gaat modelleren als achter elkaar geplakte kwart sinussen.
Je hebt dan altijd een grote discontinuiteit bij de overgang van pi/2 naar 0, terwijl dat je voor een magnetische potentiaal in een elektrische motor toch geen discontinuiteiten verwacht of wil hebben. Wat voor type motor wil je simuleren?

[Bert Hannon]

Die kwart sinussen waren maar een voorbeeld. Het gaat om een machine met gleuven... op een bepaald interval van de straal heb je afwisselend een koperen gleuf (openingshoek delta) en een ijzeren tand (openingshoek epsilon).
Ik gebruik subdomains om mijn model op te bouwen. Bij die modeleringstechniek wordt de machine onderverdeeld in een aantal delen zodat de differentiaalvergelijking sterk vereenvoudig kan worden. Elke gleuf en elke tand is een apart subdomain. De vector potentiaal in die subdomains kan dus beschreven worden aan de hand van een Fourier serie met fundamentele periode delta/epsilon.

Hoe linkt dit nu met mijn vraag... De vector potentiaal wordt beschreven als een vermenigvuldiging van een functie afhankelijk van de straal en een functie afhankelijk van phi (zie eerste post).
Om de verschillende subdomains aan elkaar te linken worden randvoorwaarden opgelegd: continuïteit van de vector potentiaal en continuïteit van de tangentiële component van de rotor van de magnetische vector potentiaal gedeeld door de permeabiliteit van een regio.
Voor de rand tussen gleuf en tand houdt dit in dat de afgeleide van de vector potentiaal in de gleuf naar phi nul moet zijn (permeabiliteit van ijzer wordt oneindig verondersteld).
Om deze randvoorwaarden te kunnen opleggen moet de fundamentele periode van de vector potentiaal delta/epsilon zijn (de randvoorwaarde moet telkens op twee randen met constante phi opgelegd worden: begin en eind van een gleuf/tand). Maar tegelijkertijd moeten de machten van r gelijk zijn in gleuf en tand anders moet je twee oneindige sommen met machten van r vergelijken die volledig anders zijn (2lpi/delta in de gleuf en 2lpi/epsilon in de tand).

Maar misschien is het wat te uitgebreid om dat in een post uit te leggen. Indien het onvoldoende uitgelegd is kan ik het wel even illustreren met een PDF...

[wnvl]

Het is mij helemaal duidelijk wat je bedoelt.
Je vraag is dus: als ik de periode van het hoekafhankelijke gedeelte verander van naar verandert dan de vorm het straalafhankelijk gedeelte van de magnetische potentiaal?

Werk je in cylindrische coordinaten met z afhankelijkheid nul?

Volgens mij gaan de exponenten van de r afhankelijkheid toch wijzigen.

Bekijk dit eens:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... esEqn.aspx



p.s. Om bestanden te delen met het forum kan je in dit topic eens kijken.

viewtopic.php?f=15&t=5039