Hoe beredeneer je de uitkomst van deze vergelijking?

[SimonV]

Ik heb het op vroeger op school wel gehad, maar ik ben helemaal kwijt hoe je de uitkomst van onderstaande vergelijking beredeneert.

Bij x * (x - 4) = 5 kan ik vrij snel "zien" dat x 5 moet zijn.
Al zou ik het niet kunnen beredeneren.

Maar bij bijvoorbeeld:

x * (x-354) = 3176352

?

Alvast hartelijk dank voor een reactie!

[arno]

Ik heb het op vroeger op school wel gehad, maar ik ben helemaal kwijt hoe je de uitkomst van onderstaande vergelijking beredeneert.

Bij x * (x - 4) = 5 kan ik vrij snel "zien" dat x 5 moet zijn.
Al zou ik het niet kunnen beredeneren.

Als je x(x - 4) = 5 wilt oplossem begin je met links de haakjes uit te werken. Dit levert de vergelijking x²-4x = 5. Door nu links en rechts 5 af te trekken krijgen we de vergelijking x²-4x-5 = 0. We stellen nu x²-4x-5 = (x+p)(x+q).
Nu geldt: (x+p)(x+q) = x²+(p+q)x+p∙q, dus er moet gelden dat p+q = -4 en p∙q = -5. Stel p = 1, dan vinden we dat q = -5,
dus x²-4x-5 = (x-5)(x+1), dus uit x²-4x-5 = 0 volgt dan dat (x-5)(x+1) = 0, dus x-5 = 0 of x+1 = 0, dus x = 5 of x = -1.

Maar bij bijvoorbeeld:
x * (x-354) = 3176352

?

Alvast hartelijk dank voor een reactie!

Je past hier gewoon dezelfde werkwijze toe als hierboven: eerst links de haakjes uitwerken, dan links en rechts het getal rechts aftrekken om de vergelijking op nul te herleiden zoals dat heet, dan de vergelijking in de gedaante x²+(p+q)x+p∙q = 0 te schrijven, waarbij in dit geval 2 gehele getallen p en q moeten worden gezocht die moeten voldoen aan p+q = -354
en p∙q = -3176352. Hint: deel 3176352 eens door 354 en kijk eens of je een geschikte waarde voor p en q kunt vinden waarvoor p+q = -354 en p∙q = -3176352. Volg daarna de verdere werkwijze als hierboven om de gevraagde oplossingen te vinden.

[SafeX]

Bij x * (x - 4) = 5 kan ik vrij snel "zien" dat x 5 moet zijn.
Al zou ik het niet kunnen beredeneren.

Maar wat bedoel je hier met "zien" dan ...?

[SimonV]

Bij x * (x - 4) = 5 kan ik vrij snel "zien" dat x 5 moet zijn.
Al zou ik het niet kunnen beredeneren.

Maar wat bedoel je hier met "zien" dan ...?

“Zien” betekent:
x(x - 4) = 5
Hieruit zie ik direct:

x =1 en x-4=5 (kan niet)
Of
x=-1 en x-4= -5 (kan wel)
Of
x = 5 en x-4=1 (kan wel)
Of
x=-5 en x-4= -1 (kan niet)

[SimonV]

Je past hier gewoon dezelfde werkwijze toe als hierboven: eerst links de haakjes uitwerken, dan links en rechts het getal rechts aftrekken om de vergelijking op nul te herleiden zoals dat heet, dan de vergelijking in de gedaante x²+(p+q)x+p∙q = 0 te schrijven, waarbij in dit geval 2 gehele getallen p en q moeten worden gezocht die moeten voldoen aan p+q = -354
en p∙q = -3176352. Hint: deel 3176352 eens door 354 en kijk eens of je een geschikte waarde voor p en q kunt vinden waarvoor p+q = -354 en p∙q = -3176352. Volg daarna de verdere werkwijze als hierboven om de gevraagde oplossingen te vinden.

x²-354x-3176352=0
x²+(p+q)x+p∙q = 0

p+q = -354
pxq = -3176352

p= -354-q
(-354-q) * q = -3176352
-q*354- q² = -3176352
q²+q*354-3176352 = 0

deel 3176352 eens door 354 = 8972,746 ?

En nu? Hier zit ik vast…

[arno]

x²-354x-3176352=0
x²+(p+q)x+p∙q = 0

p+q = -354
pxq = -3176352

p= -354-q
(-354-q) * q = -3176352
-q*354- q² = -3176352
q²+q*354-3176352 = 0

deel 3176352 eens door 354 = 8972,746 ?

En nu? Hier zit ik vast…

Ga eens na of je de getallen 354 en 3176352 correct hebt overgenomen. Als dat wel zo is zit er een fout in de opstelling van de opgave.

[SafeX]

Bij x * (x - 4) = 5 kan ik vrij snel "zien" dat x 5 moet zijn.
Al zou ik het niet kunnen beredeneren.

Maar wat bedoel je hier met "zien" dan ...?

“Zien” betekent:
x(x - 4) = 5
Hieruit zie ik direct:

x =1 en x-4=5 (kan niet)
Of
x=-1 en x-4= -5 (kan wel)
Of
x = 5 en x-4=1 (kan wel)
Of
x=-5 en x-4= -1 (kan niet)

Ok, dus je bedoelt gewoon proberen ... Wiskundig prima!

Maar stel dat je een opl gevonden hebt (op deze manier) kan je dan ook (zonder proberen) exact de tweede vinden?

[SafeX]

Maar bij bijvoorbeeld:

x * (x-354) = 3176352

Kies je dit vb zelf 'uit de losse pols'?
Zo ja, dan is de kans dat je met proberen iets bereikt nihil! Maw geen tijd aan besteden.

Natuurlijk is de verg, volgens bekende methoden, wel oplosbaar! (is dat voor jou ook natuurlijk?)

Een aardige (maar ook belangrijke) vraag is hier: hoe weet je zeker dat er twee opl zijn? Zo ja, kan je iets over het teken van de opl zeggen?

[SimonV]

Het antwoord is 1968. Ik heb dit getal genomen, in de formule gestopt:

1968*(1968-354) = 3176352

zodat ik zeker wist dat er een oplossing moest zijn.

Maar ja, nu de weg terug nog...

[SafeX]

Het antwoord is 1968. Ik heb dit getal genomen, in de formule gestopt:

1968*(1968-354) = 3176352

zodat ik zeker wist dat er een oplossing moest zijn.

Maar ja, nu de weg terug nog...

Maar ja, nu de weg terug nog...

Wat bedoel je? Het bepalen van de tweede opl?

Ik heb een aantal vragen gesteld ...

[SimonV]

Ok, dus je bedoelt gewoon proberen ... Wiskundig prima!

Maar stel dat je een opl gevonden hebt (op deze manier) kan je dan ook (zonder proberen) exact de tweede vinden

Nee, dus...

Natuurlijk is de verg, volgens bekende methoden, wel oplosbaar! (is dat voor jou ook natuurlijk?)

Volgens mij dus niet natuurlijk. Wat zou een bekende methode zijn?

[SimonV]

Even voor de duidelijkheid: ik zit nu dus vast bij:

p= -354-q
(-354-q) * q = -3176352
-q*354- q² = -3176352
q²+q*354-3176352 = 0

Hoe beredeneer ik wat q is?

[SafeX]

Eerst even dit ...

Ok, dus je bedoelt gewoon proberen ... Wiskundig prima!

Maar stel dat je een opl gevonden hebt (op deze manier) kan je dan ook (zonder proberen) exact de tweede vinden

Nee, dus...

Dit is een duidelijk antwoord! Belangrijk!

Je eerste vb: x(x-4)=5 met 5 als opl, dus moet gelden: (x-5)(...)=0? Eens?

Zo ja, wat is je verg herleid op 0? (waarom 0)


Opm: antwoorden op gestelde vragen kan uiterst belangrijk zijn. Eens?

[SimonV]

Natuurlijk heeft het zin op de gestelde vragen te antwoorden!

dus moet gelden: (x-5)(...)=0? Eens? Sorry, snap het niet…

Ik zou zeggen x²-4x-5 = 0
Door naar 0 te herleiden kun je de “truc” van x²+(p+q)x+p∙q = 0 toepassen.

[SafeX]

dus moet gelden: (x-5)(...)=0? Eens? Sorry, snap het niet…

Als je voor x het getal 5 kiest, wat 'zie' je dan ...

Ik zou zeggen x²-4x-5 = 0
Door naar 0 te herleiden kun je de “truc” van x²+(p+q)x+p∙q = 0 toepassen.

Zelfs eenvoudiger! Maar het komt daar wel op neer, dus aandacht!