Met lijm kan je constructies bouwen zoals in het plaatje hierboven.
Hierdoor kan je sneller grote overspanningen bereiken.
Noem
N = aantal boeken (hierboven 22)
V = aantal boeken in voetdeel (groen)
B = N - V = aantal boeken in bovendeel (blauw)
Daarnaast gaan we uit van een plakstrook met breedte p.
Hoe beter je lijm, hoe kleiner deze plakstrook uit zal vallen, hierboven is p = 0.1 (bij boekbreedte = 1.0).
Het bovendeel is zo lang mogelijk gemaakt: dan krijgen we links de grootste overspanning, en rechts het grootste contragewicht. Evenzo voor het groene deel dat zo het grootste contragewicht levert.
Noem van het blauwe deel:
w1 = B - (B-1)*p = totale breedte bovendeel
d1 = w1 / 2
Noem van het groene deel:
w2 = V - (V-1)*p = totale breedte voetdeel
d2 = w2 / 2
De rode stip (met x-coördinaat xm) is het massamiddelpunt van de totale constructie:
- dit willen we zo ver mogelijk naar rechts voor de grootste overspanning, en
- dit moet boven het onderste groene boek liggen voor evenwicht, en wel zo ver mogelijk aan de linker kant van dit boek voor de grootste overspanning.
Nu de momenten van de 2 delen om het massamiddelpunt van het totaal:
neem
a1 = xm - d1 = arm blauwe deel
F1 = B * g *
\(\text{massa}_{boek}\) = kracht blauwe deel
M1 = F1 * a1 = moment blauwe deel, linksom
en
a2 = d2 = arm groene deel
F2 = V * g *
\(\text{massa}_{boek}\) = kracht groene deel
M2 = F2 * a2 = moment groene deel, rechtsom
dan geldt bij evenwicht dat deze 2 (tegengestelde) momenten in absolute zin gelijk zijn.
Dit levert:
B * (xm - d1) = V * d2
ofwel
\(x_m = d_1 + \frac{V}{N-V}d_2\)
De x-coördinaat xt van de top van het groene deel die contact maakt met het blauwe deel is dan:
\(x_t = x_m + 2d_2 = d_1 + \frac{2N-V}{N-V}d_2\)
d1 en d2 liggen vast in N, V en p,
dus voor elke N, V en p kunnen we xt bepalen.
We zoeken dan de xt zodanig dat we het groene deel aan het blauwe deel kunnen vastlijmen:
\(w_1 - (1-p) \le x_t \le w1 + (1-p)\)
Om niet alle mogelijke waarden van V tussen nul en N te hoeven uitproberen maken we eerst een benadering voor V:
\(d_1 \approx \frac{(1-p)\cdot B}{2}\)
\(d_2 \approx \frac{(1-p)\cdot V}{2}\)
dus volgens de formule voor xm hierboven is
\(x_m \approx \frac{1-p}{2}\cdot (N-V) + \frac{1-p}{2}\cdot \frac{V^2}{N-V}\)
Tevens benaderen we:
\(x_m = x_t - 2d_2 \approx 2d_1 - 2d_2\)
en stellen we deze 2 formules voor xm aan elkaar gelijk:
\((1-p)B - (1-p)V \approx \frac{1-p}{2}\cdot (N-V) + \frac{1-p}{2}\cdot \frac{V^2}{N-V}\)
Herleiden geeft:
\(2V^2 - 4NV + N^2 \approx 0\)
dus
\(V \approx N \cdot (1-\frac{1}{2}\sqrt{2})\)
Voorbeeld
Voor N = 22 als in het plaatje:
\(V \approx 22 \cdot (1-\frac{1}{2}\sqrt{2}) = 6.4436...\)
Probeer daarom eerst V = 6:
B = N - V = 22 - 6 = 16
w1 = 14.5
d1 = 7.25
w2 = 5.5
d2 = 2.75
\(x_m = d_1 + \frac{V}{N-V}\cdot d_2 = 7.25 + \frac{6}{22-6}\cdot 2.75 = 8.28125\)
dus
\(x_t = x_m + w_2 = 8.28125 + 5.5 = 13.78125\)
w1 - (1-p) = 14.5 - 0.9 = 13.6
w1 + (1-p) = 14.5 + 0.9 = 15.4
en omdat
\(13.6 \le 13.78125 \le 15.4\) kunnen we deze 2 componenten aan elkaar lijmen en is de constructie compleet (we hoeven in dit geval geen andere waarden voor V uit te proberen).
We hebben nu met N = 22 boeken en p = 0.1 als overspanning
\(x_m = 8.28125\)
Noot:
Met de formule die we eerder zagen zou je zonder lijm met N = 22 boeken een overspanning kunnen maken van
\(\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{i=1}^{21}\frac{1}{i} = 1.8226...\)
Dit is aanzienlijk minder.
Zonder lijm hebben we pas voor
N = 8756303 boeken een overspanning van 8.281249974...
en voor
N = 8756304 boeken een overspanning van 8.281250031...
De harmonische reeks divergeert erg traag.