Niet-congruente driehoeken.
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Niet-congruente driehoeken.
Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2020 kan men construeren?
Mijn uitkomst is 85177.
Is dit juist?
Mijn uitkomst is 85177.
Is dit juist?
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Niet-congruente driehoeken.
Kun je eens laten zien hoe je aan je antwoord komt?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
De langste zijde = 1010 dan zijn de andere zijden gelijk aan (1009,1),(1008,2)....(505,505) er zijn dus 505 mogelijke driehoeken
Totaal aantal mogelijkheden is dan
S=505+504×168= 85177
Totaal aantal mogelijkheden is dan
S=505+504×168= 85177
Re: Niet-congruente driehoeken.
(505, 505, 1010) is geen driehoekPatrick1960 schreef: De langste zijde = 1010 dan zijn de andere zijden gelijk aan (1009,1),(1008,2)....(505,505) er zijn dus 505 mogelijke driehoeken
Hoe kom je aan deze formule en de getallen daarin?Patrick1960 schreef: Totaal aantal mogelijkheden is dan S=505+504×168= 85177
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Niet-congruente driehoeken.
Als a, b en c de zijden van de driehoek zijn, dan is een zijde altijd groter dan de som van de 2 andere zijden. Je weet in ieder geval al dat a+b+c = 2020. Verder geldt dat a>b+c, b>a+c en c>a+b.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
Deze gegevens heb ik bekomen aan de hand van een soortgelijke opgave die ik vond op internet. Aan de hand daarvan heb ik deze proberen op te lossen. Blijkbaar was dat foute info. Helpen jullie mij verder?
Re: Niet-congruente driehoeken.
Je methode werkt op zich wel:
Neem voor de driehoek \(c \ge b \ge a\).
Dan is de kleinste waarde van c = 674:
immers: als c = 673 dan kunnen b en a maximaal ook 673 zijn, en is de omtrek 3*673 = 2019 = te klein.
Voor c = 674 zijn er 2 mogelijkheden:
(674, 674, 672)
(674, 673, 673)
Voor c = 675 zijn er 3 mogelijkheden:
(675, 675, 670)
(675, 674, 671)
(675, 673, 672)
Voor c = 676 zijn er 5 mogelijkheden:
(676, 676, 668)
(676, 675, 669)
(676, 674, 670)
(676, 673, 671)
(676, 672, 672)
etc
Elke keer dat we c met 1 vermeerderen, kan b ook 1 groter worden en wordt a dus 2 kleiner.
Voor elke c vinden we paren (b, a), te beginnen met b=c, dan voor steeds kleinere b, doorgaand zolang b>=a.
Als c even is, dan kunnen we doorgaan totdat b = a,
is c oneven, dan kunnen we doorgaan totdat b = a+1.
De maximale waarde van c = 1009 (hierboven hadden we al gezien dat c=1010 geen driehoeken oplevert).
In dat geval lopen de driehoeken van (1009, 1009, 2) t/m (1009, 506, 505), dat zijn er 504.
De sommatie van al die aantallen driehoeken geeft dan het gevraagde totale aantal driehoeken:
2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + .... + 504
ofwel:
(0+1+2+3+4+....502+503+504) - (1+4+7+10+....+502)
ofwel
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{504} i - \sum_{i=0}^{167} (3i+1)\)
Kan je de waarde hiervan bepalen?
Neem voor de driehoek \(c \ge b \ge a\).
Dan is de kleinste waarde van c = 674:
immers: als c = 673 dan kunnen b en a maximaal ook 673 zijn, en is de omtrek 3*673 = 2019 = te klein.
Voor c = 674 zijn er 2 mogelijkheden:
(674, 674, 672)
(674, 673, 673)
Voor c = 675 zijn er 3 mogelijkheden:
(675, 675, 670)
(675, 674, 671)
(675, 673, 672)
Voor c = 676 zijn er 5 mogelijkheden:
(676, 676, 668)
(676, 675, 669)
(676, 674, 670)
(676, 673, 671)
(676, 672, 672)
etc
Elke keer dat we c met 1 vermeerderen, kan b ook 1 groter worden en wordt a dus 2 kleiner.
Voor elke c vinden we paren (b, a), te beginnen met b=c, dan voor steeds kleinere b, doorgaand zolang b>=a.
Als c even is, dan kunnen we doorgaan totdat b = a,
is c oneven, dan kunnen we doorgaan totdat b = a+1.
De maximale waarde van c = 1009 (hierboven hadden we al gezien dat c=1010 geen driehoeken oplevert).
In dat geval lopen de driehoeken van (1009, 1009, 2) t/m (1009, 506, 505), dat zijn er 504.
De sommatie van al die aantallen driehoeken geeft dan het gevraagde totale aantal driehoeken:
2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + .... + 504
ofwel:
(0+1+2+3+4+....502+503+504) - (1+4+7+10+....+502)
ofwel
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{504} i - \sum_{i=0}^{167} (3i+1)\)
Kan je de waarde hiervan bepalen?
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
Niet echt, nee. Maar met jouw uitleg lukt het misschien wel.
Re: Niet-congruente driehoeken.
De formule die we voor deze sommaties nodig hebben is:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)\)
(zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Sommatie#Eindige_sommen)
Voorbeeld:
Voor n=5:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)
en ook:
\(\frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot (5+1) = 15\)
(merk op: het maakt voor deze sommatie niet uit of we met i=0 of i=1 beginnen: de som verandert niet als we er nul bij optellen)
Wat is dus
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{504}i = ...\)
De tweede som kunnen we splitsen:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{167}(3i+1) = \sum_{i=0}^{167}3i +\sum_{i=0}^{167}1= 3 \times\sum_{i=0}^{167}i +\sum_{i=0}^{167}1\)
De laatste som is 1+1+...+1, met in totaal 168 enen (van 0 t/m 167), dat levert een totaal van 168.
De andere kunnen we bepalen met de standaardformule:
\(\displaystyle 3 \times\sum_{i=0}^{167}i = ...\)
Kom je hiermee verder?
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)\)
(zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Sommatie#Eindige_sommen)
Voorbeeld:
Voor n=5:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)
en ook:
\(\frac{1}{2}n(n+1) = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot (5+1) = 15\)
(merk op: het maakt voor deze sommatie niet uit of we met i=0 of i=1 beginnen: de som verandert niet als we er nul bij optellen)
Wat is dus
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{504}i = ...\)
De tweede som kunnen we splitsen:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{167}(3i+1) = \sum_{i=0}^{167}3i +\sum_{i=0}^{167}1= 3 \times\sum_{i=0}^{167}i +\sum_{i=0}^{167}1\)
De laatste som is 1+1+...+1, met in totaal 168 enen (van 0 t/m 167), dat levert een totaal van 168.
De andere kunnen we bepalen met de standaardformule:
\(\displaystyle 3 \times\sum_{i=0}^{167}i = ...\)
Kom je hiermee verder?
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
Dus de eerste som is
1+2+3+4......+504
En de tweede
3×(1+2+3+4......+167)
1+2+3+4......+504
En de tweede
3×(1+2+3+4......+167)
Re: Niet-congruente driehoeken.
Klopt.
En kan je met bovenstaande formule de uitkomst van die som bepalen?
En kan je met bovenstaande formule de uitkomst van die som bepalen?
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
Ik zal dat in Excel invoeren, als het dat is wat je bedoelt. Zal wal de twee sommen apart moeten ingeven.
Re: Niet-congruente driehoeken.
Dat kan, maar met bovenstaande formules is het waarschijnlijk sneller:
Voor n = 504:
\(\frac{1}{2}\times 504 \times 505 = 127260\)
en voor n = 167:
\(\frac{1}{2}\times 167 \times 168 = 14028\)
Als het goed is komt Excel hier ook op uit.
Het totaal aantal driehoeken komt dus op 127260 - (3*14028 + 168) = 85008
Voor n = 504:
\(\frac{1}{2}\times 504 \times 505 = 127260\)
en voor n = 167:
\(\frac{1}{2}\times 167 \times 168 = 14028\)
Als het goed is komt Excel hier ook op uit.
Het totaal aantal driehoeken komt dus op 127260 - (3*14028 + 168) = 85008
-
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Niet-congruente driehoeken.
Ook de berekening via Excel geeft dezelfde uitkomst maar is misschien niet de meest gebruikelijke. Hartelijk dank voor de hulp.
Nog veel succes en misschien tot nog eens.
Grts.
Nog veel succes en misschien tot nog eens.
Grts.