jochemve schreef:
Nu kwamen we er al spelenderwijs al achter dat je best vaak "3x 7" gooit, bijvoorbeeld de worp 1-2-3-4-5-6, of 2-2-3-4-5-5.
Maar: hoe bereken je die kans? - en dus generieker ook bijvoorbeeld ook 3x 8, 3x9 of 3x 10? (de kans op 3x12 is makkelijk:(1/6)^6)....
Noteer de uitkomst van dobbelsteen1 t/m dobbelsteen6 als een rijtje waarden (elke waarde 1 t/m 6 (= aantal ogen)).
Voorbeeld:
6-6-3-6-2-6
Er zijn dan 6*6*6*6*6*6 = 6^6 = 46656 verschillende van deze rijtjes mogelijk.
3x12:
12 scoren met 2 dobbelstenen is alleen mogelijk met twee zessen.
3x12 scoren met 6 dobbelstenen is dus alleen mogelijk met zes zessen.
1 van onze 46656 rijtjes heeft alleen maar zessen, de kans op dit rijtje = (1/6)^6 = 1 / 6^6 = 1 / 46656 = 0.00002143347...
Dit had je zelf al gevonden.
3x11:
11 scoren met 2 dobbelstenen is alleen mogelijk met een 6 en een 5
3x11 scoren met 6 dobbelstenen is dus alleen mogelijk met 3 keer {6, 5} = 3 zessen en 3 vijven.
De 6 scores kunnen we op 6! = 720 manieren op een rij zetten.
Maar omdat de 3 zessen niet van elkaar te onderscheiden zijn moeten we dit aantal door 3! = 6 delen.
Dit geldt ook voor de 3 vijven.
In totaal zijn er dus 6! / (3! * 3!) = 20 verschillende rijtjes te maken met 3 zessen en 3 vijven.
Dit geeft een kans van 20 / 46656 = 0.00042866941...
3x10:
10 scoren met 2 dobbelstenen is mogelijk met {6, 4} of met {5, 5}
3x10 scoren met 6 dobbelstenen is dus mogelijk met:
- 3 keer {6, 4} en 0 keer {5, 5}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijke rijtjes(we hebben nu alle rijtjes met 3 keer een 6 en 3 keer 4)
- 2 keer {6, 4} en 1 keer {5, 5}: 6!/(2!*2!*2!) = 90 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 2 keer een 6, 2 keer 4 en 2 keer 5)
- 1 keer {6, 4} en 2 keer {5, 5}: 6!/4! = 30 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 4 keer 5, 1 keer 6 en 1 keer 4)
- 0 keer {6, 4} en 3 keer {5, 5}: 6!/6! = 1 mogelijk rijtje (we hebben een rijtjes met 6 keer 5)
We hebben dus 20 + 90 + 30 + 1 = 141 verschillende rijtjes die ieder 3 keer 10 scoren.
Dit geeft een kans van 141 / 46656 = 0.00302211934...
3x9:
9 scoren met 2 dobbelstenen is mogelijk met {6, 3} of met {5, 4}
3x9 scoren met 6 dobbelstenen is dus mogelijk met:
- 3 keer {6, 3} en 0 keer {5, 4}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijke rijtjes(we hebben nu alle rijtjes met 3 keer een 6 en 3 keer 3)
- 2 keer {6, 3} en 1 keer {5, 4}: 6!/(2!*2!) = 180 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 2 keer een 6, 2 keer 3, 1 keer 5 en 1 keer 4)
- 1 keer {6, 3} en 2 keer {5, 4}: 6!/(2!*2!) = 180 mogelijke rijtjes (we hebben rijtjes met 1 keer 6, 1 keer 3, 2 keer 5 en 2 keer 4)
- 0 keer {6, 3} en 3 keer {5, 4}: 6!/(3!*3!) = 20 mogelijk rijtjes (we hebben nu rijtjes met 3 keer een 5 en 3 keer 4)
We hebben dus 20 + 180 + 180 + 20 = 400 verschillende rijtjes die elk 3 keer 9 scoren.
Dit geeft een kans van 400 / 46656 = 0.0085733882...
Systematisch doorwerken levert zo:
voor 3x8: 1001 mogelijkheden, een kans van 1001 / 46656 = 0.021454903978...
voor 3x7: 1860 mogelijkheden, een kans van 1860 / 46656 = 0.039866255144...
jochemve schreef:
En moeilijker: de kans op 2 x een zeven, (of 8,9,10,11,12)
2x12
Nu moeten we nog meer onderscheid maken:
2 keer 12 met 3 dobbelstenen kan door een worp met:
(A) 2 keer {6, 6} en 1 keer {6, x}, waarbij x ongelijk aan 6, dus x = 1, 2, 3, 4 of 5:
we hebben nu 5 zessen en 1 andere waarde x: 6! / 5! = 6 rijtjes met 5 zessen en 1 keer x
met voor elke x een ander rijtje geeft dat met de 5 mogelijke waarden van x in totaal 6 * 5 = 30 mogelijke rijtjes
(B) 2 keer {6, 6} en 1 keer {x, x}, waarbij x ongelijk aan 6, dus x = 1, 2, 3, 4 of 5:
we hebben nu 4 zessen en 2 gelijke andere waarden x: 6! / (4!*2!) = 15 rijtjes met 4 zessen en 2 keer x,
met voor elke x een ander rijtje, geeft dat met de 5 mogelijke waarden van x in totaal 15 * 5 = 75 mogelijke rijtjes
(C) 2 keer {6, 6} en 1 keer {x, y}, waarbij x en y verschillend en allebei ook ongelijk aan 6
Er zijn
\({5 \choose 2} = 10\) mogelijke combinaties om 2 verschillende getallen x en y uit 5 verschillende getallen (hier: 1 t/m 5) te kiezen.
We hebben nu 4 zessen, 1 keer x en 1 keer y: 6! / 4! = 30 rijtjes met 4 zessen en 1 keer x en 1 keer y,
met voor elk van de 10 tweetallen {x, y} een ander rijtje, dat geeft 30 * 10 = 300 mogelijke rijtjes
Opgeteld bestaan er dus 30 + 75 + 300 = 405 verschillende rijtjes die 2x12 opleveren.
De kans op 2x12 met 6 dobbelstenen is dus 405 / 46656 = 0.0086805555555...
Opnieuw systematisch doorwerken geeft nu:
voor 2x11: 1950 mogelijkheden, een kans van 1950 / 46656 = 0.0417952674897...
voor 2x10: 5535 mogelijkheden, een kans van 5535 / 46656 = 0.118634259259...
voor 2x9: 9060 mogelijkheden, een kans van 9060 / 46656 = 0.194187242798...
voor 2x8: 14745 mogelijkheden, een kans van 14745 / 46656 = 0.31603652263...
voor 2x7: 19170 mogelijkheden, een kans van 19170 / 46656 = 0.4108796296296...
jochemve schreef:
Als laatste: stel je hebt een 11: (dus een 5, 6 en 4 willekeurige), dan gooi je met 4 dobbelstenen over: wat is die kans op een 11?
De uitkomst van elke dobbelsteen is onafhankelijk van de uitkomst van de andere dobbelstenen.
De uitkomst van de 4 stenen die je opnieuw gooit is dus onafhankelijk van de eerste 2 stenen die je bewaart (bv. 11)
De berekening gaat verder hetzelfde als hierboven, alleen nu niet voor 6 maar voor 4 dobbelstenen.
In totaal zijn er nu 6^4 = 1296 mogelijke rijtjes.
Met 4 dobbelstenen:
2x12: 1 / 1296 = 0.000771604938...
2x11: 6 / 1296 = 0.0046296296...
2x10: 19 / 1296 = 0.01466049382716...
2x9: 36 / 1296 = 0.027777777777...
2x8: 61 / 1296 = 0.0470679012345679...
2x7: 90 / 1296 = 0.0694444444444444...
Met 4 dobbelstenen:
1x12: 170 / 1296 = 0.1311728395...
1x11: 296 / 1296 = 0.2283950617...
1x10: 442 / 1296 = 0.341049382716...
1x9: 544 / 1296 = 0.41975308641975...
1x8: 666 / 1296 = 0.513888888888...
1x7: 744 / 1296 = 0.574074074074...
