tweede orde differentiaal vergelijking

[bjornkuipershan]

hallo allemaal,

Ik ben voor mijn studie tweede orde differentiaal vergelijkingen aan het leren.

Echter loop ik vast. Ik ben bij het punt hoe karakteristieke vergelijking werken met samenvallende nulpunten.

Nu snap ik niet wat ze doen als ze van Y2 naar Y'2 gaan en van Y'2 naar Y"2

Differentiëren ze hier dan gewoon eerst y2 en daarnaar Y'2. Want als ik Y2 differentieer naar Y'2 via de kettingregel kom ik op een totaal ander getal uit.

Het gaat om de volgende vergelijking:
y"+y'+1/4y=0
karakteristieke vergelijking is:
lambda^2+lambda+1/4=0 (lambda+1/2)^2=0

lambda is een nulpunt met multipliciteit 2. dus y1=e^lambda*x en ook y2=xe^lambda*x

substitutie van Y2 in het linkerlid van de DV zal dan 0 moeten opleveren

Dit snap ik dus niet :
Y2 =xe^-1/2x
Y'2 = e^-1/2 -1/2xe^-1/2x
Y"2 = -1/2e^-1/2x -1/2e^-1/2x +1/4xe^1/2x = -e^-1/2x +1/4xe^-1/2x
Y"2+y'2+1/4y2= -e^-1/2x +1/4xe^-1/2x + e^-1/2 -1/2xe^-1/2x + 1/4xe^-1/2x= 0


Dus mijn vraag hoe ga je van Y2 naar Y'2 en als dit via differentiëren gaat. Welke regels moet je dan toepassen

Alvast bedankt
Groetjes Bjorn kuipers

[SafeX]

Dus mijn vraag hoe ga je van Y2 naar Y'2 en als dit via differentiëren gaat. Welke regels moet je dan toepassen

Natuurlijk moet je differentiëren naar x, want dat staat er: y'=dy/dx

Je hebt een product van een e-macht met x, dus de productregel
De e-macht heeft als exponent een functie van x, dus de kettingregel