Hoi!
Alweer een vraagje van mijn kant. Ja, ik ben druk bezig met mijn herkansingsvak en ik probeer het bewijs weer in elkaar te krijgen.
De vraag: Laat A een verzameling zijn en laat gedefinieerd door voor alle . Bewijs dat bijectief is.
Even een kleine notitie: is de PowerSet, dus de verzameling van alle deelverzamelingen en wordt in dit boek zo geschreven, maar ik noteer het liever als A\X, wat me niet lukt om in de formule te typen.
Dit is dus wat ik moet bewijzen. In de post hieronder zal ik proberen uiteen te zetten wat ik al heb.
Bewijs bijectiviteit
Re: Bewijs bijectiviteit
Injectiviteit bewijzen kan door te bewijzen dat als dat dan ook moet gelden dat of anders gezegd: impliceert
Ik dacht dit te bewijzen uit het ongerijmde: stel maar dan moet ik op een tegenspraak komen. Maar op zich is dat natuurlijk heel logisch, alleen weet ik niet hoe ik dat netjes kan bewijzen. Dus daar loop ik al vast.
De surjectiviteit: voor alle (codomein) moet er een (domein) bestaan zodat .
Ik zou graag iemand hebben die met me meedenkt.
Ik dacht dit te bewijzen uit het ongerijmde: stel maar dan moet ik op een tegenspraak komen. Maar op zich is dat natuurlijk heel logisch, alleen weet ik niet hoe ik dat netjes kan bewijzen. Dus daar loop ik al vast.
De surjectiviteit: voor alle (codomein) moet er een (domein) bestaan zodat .
Ik zou graag iemand hebben die met me meedenkt.
Re: Bewijs bijectiviteit
Powerset? Machtsverzameling.
Surjectiviteit is lijkt me makkelijk.
Je moet dan aantonen dat voor elke deelverzameling
van
er een verzameling is zo dat
.
Drie keer raden wat hier voor ingevuld moet worden.
Injectiviteit.
Stel ,
je moet dan aantonen dat .
Schrijf eens volledig uit.
Surjectiviteit is lijkt me makkelijk.
Je moet dan aantonen dat voor elke deelverzameling
van
er een verzameling is zo dat
.
Drie keer raden wat hier voor ingevuld moet worden.
Injectiviteit.
Stel ,
je moet dan aantonen dat .
Schrijf eens volledig uit.
Re: Bewijs bijectiviteit
Dit is wat ik nu heb. Injectief: als dan moet gelden
In theorie 3.3.8 is gegeven dat dan en slechts dan A een deelverzameling is van B. In dit geval is X een deelverzameling van A, dus geldt:
en dus is de functie injectief.
En ik dacht dat als je B kiest als , dan
Klopt dat?
(edit: die theorie waar ik naar verwijs is van het vorige hoofdstuk en hebben we toen bewezen, dus mag ik nu gebruiken, vandaar)
In theorie 3.3.8 is gegeven dat dan en slechts dan A een deelverzameling is van B. In dit geval is X een deelverzameling van A, dus geldt:
en dus is de functie injectief.
En ik dacht dat als je B kiest als , dan
Klopt dat?
(edit: die theorie waar ik naar verwijs is van het vorige hoofdstuk en hebben we toen bewezen, dus mag ik nu gebruiken, vandaar)