\(U^a\) zie je hier dus als functie van s:
\(U^a(s)=\frac{1}{24}(4-\frac{1}{s^2})-\frac{1}{2}b^2-(s-1)c\)
werk de haakjes weg:
\(U^a(s)=\frac{1}{6}-\frac{1}{24}s^{-2}-\frac{1}{2}b^2-cs+c\)
breng alle constanten naar achter:
\(U^a(s)=-\frac{1}{24}s^{-2}-cs + \left( c -\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{6}\right)\)
In een (al dan niet lokaal) optimum van een functie is de afgeleide van die functie nul.
Informatie over afleiden vind je bv. hier:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide.
Voor ons is van belang dat de afgeleide van een functie
\(f(x) = c\cdot x^a\)
gelijk is aan
\(f'(x) = a \cdot c\cdot x^{a-1}\)
en dat we in een veelterm de afgeleide van elke term afzonderlijk kunnen nemen en de resultaten daarvan mogen optellen, zie de paragrafen
https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide ... e_functies
en
https://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide#Rekenregels
Dit levert:
\({U^a} '(s)=-\frac{-2}{24}s^{-3} - c \)
ofwel
\({U^a}'(s)=\frac{1}{12}s^{-3} - c \)
In een optimum moet deze nul zijn:
\(\frac{1}{12}s^{-3} - c = 0 \)
\(s^{-3} = 12 c \)
\(s = \sqrt[3]{\frac{1}{12c}}\)
Tenslotte moet je alleen nog controleren of s aan alle randvoorwaarden voldoet.
Zo niet, dan is s de grootste toegestane grenswaarde.
Merk nog op:
Je stelt:
\(1 \le s\) en
\(s \le \frac{1}{2b^2}\)
dus moet ook gelden:
\(1 \le \frac{1}{2b^2}\)
\(2b^2 \le 1\)
\(b \le \frac{1}{2} \sqrt{2} = 0.7071...\)
Is b groter dan dit, dan bestaat er binnen de randvoorwaarden geen oplossing voor s.
Evenzo wegens
\(1 \le s\):
\(1 \le \sqrt[3]{\frac{1}{12c}}\)
\(1 \le \frac{1}{12c}\)
\(c \le \frac{1}{12} = 0.083333...\)
Voorbeeld:
b = 0.3
c = 0.01
Optimum:
\(s_{opt} = \sqrt[3]{\frac{1}{12\; \cdot \; 0.01}} = 2.0274...\)
\(U^a(s_{opt})=-\frac{1}{24}s_{opt}^{-2}-0.01s_{opt} + \left( 0.01 -\frac{1}{2}0.3^2 + \frac{1}{6}\right)= 0.10125565...\)
Randvoorwaarde:
\(s \le \frac{1}{2b^2} = \frac{1}{2\cdot 0.3^2} = \frac{1}{0.18} = 5.555...\)
ons optimum (bij s = 2.0274...) valt daarbinnen en is dus OK.
Ter controle van het optimum:
De waarden van
\(U^a\) een klein stukje links en een klein stukje rechts van het optimum:
\(U^a(2.02) = 0.10125 524...\)
\(U^a(2.03) = 0.10125 560...\)
zijn beide inderdaad lager dan die van het optimum zelf:
\(U^a(2.0274...) = 0.10125 565...\)
Kom je hiermee verder?