Beste,
Ik heb een probleem met het ontbinden van een bikwadratische vergelijking. Dit is de enige opgave in een oefeningenreeks waarbij ik vast zit. (Precalculus, Mathematics for calculus, 7th ed. metric, J. Stewart)
De oorspronkelijke opgave (opg. 18, p.293) is om te ontbinden in factoren inclusief complexe nulpunten van x^6-1
Ik heb ondertussen het volgende:
x^6-1
= (x^2-1)(x^4+x^2+1)
= (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)
Volgens mijn TI-CAS zou (x^4+x^2+1) gelijk moeten zijn aan (x^2+x+1)(x^2-x+1).
Als ik deze heb dan kan ik eindelijk de complexe nulpunten eruit halen.
Indien het (x^4+2x^2+1) was dan zou dit geen probleem zijn, maar die x^2 speelt mij parten.
Kan iemand mij een werkwijze tonen om tot het bovenvermelde te komen?
Ik heb geen idee wat ik hier in dit specifiek geval over het hoofd zie.
Alvast bedankt.
Met vriendelijke groeten
Bikwadratische vergelijking ontbinden
Re: Bikwadratische vergelijking ontbinden
Stel:
\(x^4+x^2+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\)
Werk het laatste product uit:
\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+cx^3+dx^2 + ax^3+acx^2+adx + bx^2+bcx+bd\)
\(=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)
Nu zoeken we de a, b, c en d zodanig dat
\(x^4+x^2+1=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)
De coefficienten van gelijke machten van x moeten gelijk zijn, dus
a + c = 0
d + ac + b = 1
ad + bc = 0
bd = 1
Uit de eerste vergelijking volgt c = -a, uit de laatste volgt d = 1/b.
Invullen in de overige 2 vergelijkingen geeft:
\(b + \frac{1}{b} - a^2 = 1\)
\(\frac{a}{b} - ab = 0\)
\(a(\frac{1}{b}-b)=0 \;\Rightarrow a=0 \; \text{of} \; b^2=1\)
geval \(a=0 \; \Rightarrow \; b + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow b^2 - b + 1 = 0 \Rightarrow b=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3}\)
geval \(b^2 = 1\):
- ofwel \(b=1 \;\Rightarrow\; a = \pm 1\)
- ofwel \(b=-1 \;\Rightarrow\; a = \pm i\sqrt{3}\)
Alle bovenstaande oplossingen leveren onze vergelijking in de gewenste vorm, maar alleen in de oplossing
\(b=1 \;\wedge \; a = \pm 1\)
zijn alle coefficienten reele (en hier zelfs gehele) getallen.
\(x^4+x^2+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\)
Werk het laatste product uit:
\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+cx^3+dx^2 + ax^3+acx^2+adx + bx^2+bcx+bd\)
\(=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)
Nu zoeken we de a, b, c en d zodanig dat
\(x^4+x^2+1=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)
De coefficienten van gelijke machten van x moeten gelijk zijn, dus
a + c = 0
d + ac + b = 1
ad + bc = 0
bd = 1
Uit de eerste vergelijking volgt c = -a, uit de laatste volgt d = 1/b.
Invullen in de overige 2 vergelijkingen geeft:
\(b + \frac{1}{b} - a^2 = 1\)
\(\frac{a}{b} - ab = 0\)
\(a(\frac{1}{b}-b)=0 \;\Rightarrow a=0 \; \text{of} \; b^2=1\)
geval \(a=0 \; \Rightarrow \; b + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow b^2 - b + 1 = 0 \Rightarrow b=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3}\)
geval \(b^2 = 1\):
- ofwel \(b=1 \;\Rightarrow\; a = \pm 1\)
- ofwel \(b=-1 \;\Rightarrow\; a = \pm i\sqrt{3}\)
Alle bovenstaande oplossingen leveren onze vergelijking in de gewenste vorm, maar alleen in de oplossing
\(b=1 \;\wedge \; a = \pm 1\)
zijn alle coefficienten reele (en hier zelfs gehele) getallen.
Re: Bikwadratische vergelijking ontbinden
Heel erg bedankt!
Nu snap ik het. Het is eigenlijk hetzelfde principe als voor kwadratische vergelijkingen met
maar dan aangepast naar een n-de polynoom.
Bedankt!
Mvg
Nu snap ik het. Het is eigenlijk hetzelfde principe als voor kwadratische vergelijkingen met
maar dan aangepast naar een n-de polynoom.
Bedankt!
Mvg