Bikwadratische vergelijking ontbinden

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Alfaromeo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 sep 2021, 15:25

Bikwadratische vergelijking ontbinden

Bericht door Alfaromeo » 21 sep 2021, 16:05

Beste,

Ik heb een probleem met het ontbinden van een bikwadratische vergelijking. Dit is de enige opgave in een oefeningenreeks waarbij ik vast zit. (Precalculus, Mathematics for calculus, 7th ed. metric, J. Stewart)

De oorspronkelijke opgave (opg. 18, p.293) is om te ontbinden in factoren inclusief complexe nulpunten van x^6-1

Ik heb ondertussen het volgende:

x^6-1

= (x^2-1)(x^4+x^2+1)
= (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)

Volgens mijn TI-CAS zou (x^4+x^2+1) gelijk moeten zijn aan (x^2+x+1)(x^2-x+1).
Als ik deze heb dan kan ik eindelijk de complexe nulpunten eruit halen.

Indien het (x^4+2x^2+1) was dan zou dit geen probleem zijn, maar die x^2 speelt mij parten.

Kan iemand mij een werkwijze tonen om tot het bovenvermelde te komen?

Ik heb geen idee wat ik hier in dit specifiek geval over het hoofd zie.

Alvast bedankt.

Met vriendelijke groeten

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bikwadratische vergelijking ontbinden

Bericht door arie » 21 sep 2021, 19:24

Stel:
\(x^4+x^2+1 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\)
Werk het laatste product uit:
\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+cx^3+dx^2 + ax^3+acx^2+adx + bx^2+bcx+bd\)
\(=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)

Nu zoeken we de a, b, c en d zodanig dat
\(x^4+x^2+1=x^4 + (a+c)x^3 + (d+ac+b)x^2 + (ad+bc)x + bd\)

De coefficienten van gelijke machten van x moeten gelijk zijn, dus
a + c = 0
d + ac + b = 1
ad + bc = 0
bd = 1

Uit de eerste vergelijking volgt c = -a, uit de laatste volgt d = 1/b.
Invullen in de overige 2 vergelijkingen geeft:
\(b + \frac{1}{b} - a^2 = 1\)
\(\frac{a}{b} - ab = 0\)

\(a(\frac{1}{b}-b)=0 \;\Rightarrow a=0 \; \text{of} \; b^2=1\)
geval \(a=0 \; \Rightarrow \; b + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow b^2 - b + 1 = 0 \Rightarrow b=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3}\)
geval \(b^2 = 1\):
- ofwel \(b=1 \;\Rightarrow\; a = \pm 1\)
- ofwel \(b=-1 \;\Rightarrow\; a = \pm i\sqrt{3}\)

Alle bovenstaande oplossingen leveren onze vergelijking in de gewenste vorm, maar alleen in de oplossing
\(b=1 \;\wedge \; a = \pm 1\)
zijn alle coefficienten reele (en hier zelfs gehele) getallen.

Alfaromeo
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 21 sep 2021, 15:25

Re: Bikwadratische vergelijking ontbinden

Bericht door Alfaromeo » 22 sep 2021, 05:11

Heel erg bedankt!

Nu snap ik het. Het is eigenlijk hetzelfde principe als voor kwadratische vergelijkingen met



maar dan aangepast naar een n-de polynoom.

Bedankt!

Mvg

Plaats reactie