Wiskundeforum

Met andere woorden:
$\lim_{m,n \to \infty}\sum_{k=-m}^n a_k := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$
mits in het rechter lid beide limieten bestaan.

Nu had ik gedefinieerd $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$ .

Kortom je definieert
$\lim_{m,n \to \infty}\sum_{k=-m}^n a_k := \sum_{-\infty}^{\infty} a_k$ .

op=op schreef:Met andere woorden:
$\lim_{m,n \to \infty}\sum_{k=-m}^n a_k := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$
mits in het rechter lid beide limieten bestaan.

Je definiëert m=n, daar ging ik niet vanuit. Mijn bedoeling was onbepaald te laten of ze overeenkomen.
Tenzij $\lim_{m,n \to \infty}$ impliceert: m=n.
Met mijn definitie geldt niet persé:
$\sum_{k=-\infty}^{\infty}k^3=0$

Ik definieer niet m=n.
In het rechter lid staan 2 totaal van elkaar onafhankelijke limieten.
Ik mag de index elke naam geven die ik wil, en omdat die limieten onafhankelijk zijn ook dezelfde naam.

op=op schreef:Met andere woorden:
$\lim_{m,n \to \infty}\sum_{k=-m}^n a_k := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$
mits in het rechter lid beide limieten bestaan.

In het linkerlid is het aantal elementen met een negatieve index niet persé gelijk aan het aantal elementen met een positieve index dat opgeteld wordt. In het rechterlid wel. Het verschil tussen het linkerlid en het rechterlid is van wezenlijk belang, bijv. voor als a_k=k^3.

Kortom: let op het aantal elementen dat je optelt.

David schreef: In het linkerlid is het aantal elementen met een negatieve index niet persé gelijk aan het aantal elementen met een positieve index dat opgeteld wordt. In het rechterlid wel.

Neehee, in het rechterlid ook niet!

In het rechter lid staan 2 onafhankelijke limieten.

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n k^3 + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} (-k)^3$
bestaat niet, want beide limieten bestaan niet.

$\sum_{k=-\infty} ^{\infty}k^3:=\lim_{n \to infty}\sum_{-n}^nk^ 3= \\ 0^3+\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \[(-k)^3+k^3\]=\\0+\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n 0=0$

Wat doe ik hier dan fout?

Dat is volgens de definitie van Sjoerd Job.
Volgens mijn definitie is zo je wilt
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} k^3 := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n k^3 + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} (-k)^3 = \infty - \infty$ niet gedefinieerd.

Ik gebruik deze identiteit:

$\sum_{n=s}^t f(n)+\sum_{n=s}^t g(n)=\sum_{n=s}^t \[f(n)+g(n)\]$
Summation
2e identiteit van boven.

Ik denk dat je de limiet te vroeg gebruikt. Evenzo(?)

f(x)=x^2
$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \\ \lim_{h \to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}= \\ \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=\\ \frac{0+0}{0}=\frac{0}{0}$

onbepaalde vorm, dus de afgeleide bestaat niet.
Natuurlijk delen we eerst de h in de teller en noemer tegen elkaar weg, zodat die in de noemer ontbreekt en we op
$f'(x)=\lim_{h \to 0}2x+h=2x$
uitkomen.

In jou afleiding pas je de limiet dus te vroeg toe. Je moet eerst de identiteit toepassen die ik eerder aangaf en dan kijken naar de limiet. Ik vind dit net zo arbitrair als het toepassen in limieten als bij afgeleiden.

Stel $a_k=k^3$ zodat
$\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k=\sum_{k=-\infty}^{\infty}k^3$
vind ik onbepaald, omdat zo niet aangegeven wordt of het aantal elementen met een negatieve index gelijk is aan dat met een positieve index. De vorm is pas bepaald als het aantal elementen met een negatieve index gelijk is aan dat met een positieve index, met de waarde 0.

Ik gebruik de limiet niet te vroeg.
Definitie:
Als $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ en $\sum_{k=1}^{\infty} a_{-k}$ bestaan (i.e. eindig zijn),
dan is $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k := \sum_{k=0}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} a_{-k}$ .

$\sum_{k=0}^{\infty} k^3$ en $\sum_{k=1}^{\infty} (-k)^3$ bestaan niet, dus is
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} k^3$ niet gedefinieerd.

op=op schreef:...dus is
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} k^3$ niet gedefinieerd.

Eens. In die vorm is onbepaald of het aantal elementen met een negatieve index gelijk is aan het aantal elementen van een positieve index.

Wat is er mis met een met
$\sum_{n=s}^t f(n)+\sum_{n=s}^t g(n)=\sum_{n=s}^t \[f(n)+g(n)\]$

$\sum_{k=1}^{n} f(k)+\sum_{k=1}^n g(k)=\sum_{k=1}^{n} \[f(k)+g(k)\]$
f(k)=k^3
g(k)=(-k)^3
f(k)+g(k)=0 Zodat
$\sum_{k=-n}^{n}k^3=0^3+\sum_{k=1}^{n} k^3+\sum_{k=1}^n (-k)^3=0+\sum_{k=1}^{n} 0=0$
Voor alle n, dus ook voor
$\lim_{n \to \infty}$

David schreef: Wat is er mis met een met
$\sum_{n=s}^t f(n)+\sum_{n=s}^t g(n)=\sum_{n=s}^t \[f(n)+g(n)\]$

Die formule klopt voor $t,s\in \mathbb{R}$ , maar is onjuist als t of s plus of min oneindig is.
In dat geval geldt moet de formule luiden:

Als $\sum_{n=s}^t f(n)$ en $\sum_{n=s}^t g(n)$ bestaan, dan is
$\sum_{n=s}^t \[f(n)+g(n)\] = \sum_{n=s}^t f(n)+\sum_{n=s}^t g(n)$

Die eerste regel is daarbij zeer belangrijk.
Voorbeeld:
$\sum_{n=0}^{\infty} \[1+(-1)\] =0$ , maar de volgende regel is onzin:
$\sum_{n=0}^{\infty} \[1+(-1)\] = \sum_{n=0}^{\infty} 1 + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)$

Merk tevens op dat in de zin
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_{-k}$
niet zomaar de twee sommen bij elkaar opgeteld mogen worden.

Bedenk eens
$\lim_{x\to\infty} x - \lim_{x \to \infty} x$
Dit mogen wij niet vereenvoudigen tot
$\lim_{x\to\infty} 0$

Wat wel zo is, is dat wanneer $\lim_{x\to a} f(x) = b$ en $\lim_{x\to a} g(x) = c$ geldt, dat dan ook geldt $\lim_{x\to a} (f(x) + g(x)) = b + c$ .

Iets om te herinneren is dat ook best kan gelden $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ EN $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ . Hoewel dit vreemd klinkt, is het toch belangrijk om hiermee rekening te houden. De reden hiervoor heeft te maken met de limietdefinitie. Voor `uniciteit' van de limiet, moet $a$ een limietpunt zijn van het domein van de functie in kwestie.

Voor $\sum_{k=-\infty}^\infty a_k$ kunnen we het dus wel eens worden over een definitie, maar hoe zit het met $\sum_{k=\infty}^\infty a_k$ ... Kunnen we het ermee eens zijn dat deze som alleen maar zin heeft als $a_k = 0$ voor voldoende grote k?

Sjoerd Job schreef: Iets om te herinneren is dat ook best kan gelden $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ EN $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ . Hoewel dit vreemd klinkt, is het toch belangrijk om hiermee rekening te houden.

Geef eens een voorbeeld. Heb je een nieuwe wiskunde aangeboord?

Sjoerd Job schreef: De reden hiervoor heeft te maken met de limietdefinitie. Voor `uniciteit' van de limiet, moet $a$ een limietpunt zijn van het domein van de functie in kwestie.

Limietpunt? Bedoel je een verdichtingspunt? Voor een limiet is meer nodig. Er moet een gepuncteerde omgeving van $a$ bestaan.

Sjoerd Job schreef: hoe zit het met $\sum_{k=\infty}^\infty a_k$ ... Kunnen we het ermee eens zijn dat deze som alleen maar zin heeft als $a_k = 0$ voor voldoende grote k?

Van $\sum_{k=\infty}^\infty a_k$ heb ik nog nooit gehoord; ik zou niet weten welke betekenis ik daaraan zou willen toekennen.

op=op schreef:
Sjoerd Job schreef: Iets om te herinneren is dat ook best kan gelden $\lim_{x \to a} f(x) = 1$ EN $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ . Hoewel dit vreemd klinkt, is het toch belangrijk om hiermee rekening te houden.
Geef eens een voorbeeld. Heb je een nieuwe wiskunde aangeboord?

Kies bijvoorbeeld $f \colon [-1,1] \to \Reals; x \mapsto 3$ . Dan geldt $\lim_{x \to 10} f(x) = 0$ en $\lim_{x\to 10} f(x) = 1$ . Het kiezen van een $\delta < 9$ zorgt dat voor elke $x \in \Dom(f) \cap B(10;\delta)$ geldt dat $|f(x)-k| < \epsilon$ voor elke $k \in \mathbb{R}$ en $\epsilon > 0$

op=op schreef:
Sjoerd Job schreef: De reden hiervoor heeft te maken met de limietdefinitie. Voor `uniciteit' van de limiet, moet $a$ een limietpunt zijn van het domein van de functie in kwestie.
Limietpunt? Bedoel je een verdichtingspunt? Voor een limiet is meer nodig. Er moet een gepuncteerde omgeving van $a$ bestaan.

Uiteraard afhankelijk van de gekozen definitie van de limiet. Voor de uniciteit is slechts nodig dat voor elke $\delta > 0$ de verzameling $\Dom(f)\cap B(a;\delta) \ne \emptyset$ . (Of, meer punten bevat dan alleen $a$ , afhankelijk van de definitie)

Sjoerd Job schreef: hoe zit het met $\sum_{k=\infty}^\infty a_k$ ... Kunnen we het ermee eens zijn dat deze som alleen maar zin heeft als $a_k = 0$ voor voldoende grote k?
Van $\sum_{k=\infty}^\infty a_k$ heb ik nog nooit gehoord; ik zou niet weten welke betekenis ik daaraan zou willen toekennen.

Dat ben ik helemaal met je eens.

Sjoerd Job schreef:Uiteraard afhankelijk van de gekozen definitie van de limiet.

Je gebruikt een heel ongebruikelijke definitie van limiet.
Kun je een referentie geven waar jouw definitie van limiet wordt gehanteerd?

Wiskundeforum

notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie