Wiskundeforum

Let op: Gebruik van een onterechte aanname.
Ik post het volgende voor als er mensen zijn (zoals ik destijds..) die wilden rekenen met oneindig, om te laten zien wat dan waar zou zijn. Of voor mensen die een alternatieve uitleg zoeken om uit te leggen dat je niet mag rekenen met oneindig. Klopt de volgende redenatie onder die aanname?

Stel dat je zou mogen rekenen met oneindig ()
Vraag je dan het volgende af: Hoeveel getallen zijn er tussen 0 en 1?
Dat zijn er .
Voor elke uitkomst tussen 0 en 1 is er een inverse tussen 1 en . Dat zijn er veel. Er zijn dus evenveel getallen tussen 0 en 1 als tussen 1 en .
Tel nu bij elk getal tussen 0 en 1, 1 op. Nu reken je dus met getallen 1 en 2. Tussen 1 en 2 zijn dus getallen. Tussen 1 en zijn getallen. Tussen 2 en zijn dus -=0 getallen. Dan zouden tussen 2 en geen getallen zijn...

Heeft iemand anders nog een aanvulling/opmerking hierop?

Nogmaals:
Let op: Gebruik van een onterechte aanname

Ik vermoed dat er tussen 0 en 1 inderdaad oneindig veel reële getallen zitten, maar het oneindig aantal reële getallen voorbij 1 is nog veel groter.
M.a.w. het ene oneindig is het andere niet. Je mag bijgevolg niet zien als een getal volgens mij.

Dat is wat ik denk.

klopt, maar je kan wel bewijzen dat het aantal getallen tussen 0 en 1 en tussen 1 en oneindig even groot is. Stel een getal tussen 0 en 1: x. Voor elke x tussen 1 en is precies een getal

idefix schreef:M.a.w. het ene oneindig is het andere niet. Je mag bijgevolg niet zien als een getal volgens mij.

Daarom heb ik erbijgezet dat ik een onterechte aanname maak (de rode letters), en voor de titel koos:
Wat als... oneindig een variabele was? Je mag dan niet gezien als getal om mee te rekenen.

Mijn excuses als ik dat onduidelijk heb aangegeven.

daco schreef:klopt, maar je kan wel bewijzen dat het aantal getallen tussen 0 en 1 en tussen 1 en oneindig even groot is. Stel een getal tussen 0 en 1: x. Voor elke x tussen 1 en is precies een getal

Dergelijke berekeningen zijn inderdaad gevaarlijk, immers:
voor elke x (0<x<1) is er precies 1 getal x+1 waarbij 1<(x+1)<2 en precies 1 getal x+2 waarbij 2<(x+2)<3, en precies 1 getal x+3, etc.
Er zijn dus oneindig keer zoveel getallen tussen tussen 1 en oneindig als tussen 0 en 1 ...

Welke redenatie is nu de juiste, of klopt er bij allebei iets niet?

Kijk in dit verband ook eens naar
- de Aleph nummers, http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number
- de Beth nummers, http://en.wikipedia.org/wiki/Beth_number

daco schreef: Mijn excuses als ik dat onduidelijk heb aangegeven.

Geen excuses nodig, hoor. Het was zeker duidelijk genoeg.
Ik was al blij dat ik me een mening kon vormen hieromtrent.

arie schreef:

daco schreef:klopt, maar je kan wel bewijzen dat het aantal getallen tussen 0 en 1 en tussen 1 en oneindig even groot is. Stel een getal tussen 0 en 1: x. Voor elke x tussen 1 en is precies een getal

Dergelijke berekeningen zijn inderdaad gevaarlijk, immers:
voor elke x (0<x<1) is er precies 1 getal x+1 waarbij 1<(x+1)<2 en precies 1 getal x+2 waarbij 2<(x+2)<3, en precies 1 getal x+3, etc.
Er zijn dus oneindig keer zoveel getallen tussen tussen 1 en oneindig als tussen 0 en 1 ...

Welke redenatie is nu de juiste, of klopt er bij allebei iets niet?

Wat er (volgens mij) gebeurt is dat je de aantallen getallen gaat vergelijken, behandelen als variabele. Je zou dan zeggen: er zijn evenveel getallen tussen 1 en 2 als tussen 1 en en daar ligt het gevaarlijke toch?
Wat je daarmee aantoont is
En dan kom je toch bij graden van oneindigheid?

arie schreef:Kijk in dit verband ook eens naar de Aleph nummers, http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number

Zijn Aleph nummers ook toe te passen op Hilberts hotel, dat het principe uitlegt van aftelbaar oneindig veel kamers? aftelbaar oneindig is dan transfiniet oneindig, niet absoluut oneindig? Bij transfiniet getal en in een link bij je aangerade artikel, http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality, is het aantal reële getallen.

Respectievelijk:

wikipedia schreef:Als we de continuümhypothese aannemen, dan is het aantal reële getallen = aantal transcendente getallen = aantal complexe getallen = aantal punten op een rechte = aantal punten op een lijnstuk = aantal punten in het heelal.

En

wikipedia schreef:The continuum hypothesis says that , i.e. is the smallest cardinal number bigger than , i.e. there is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers.

aftelbaar oneindig, zoals natuurlijke getallen.

Bij het nederlandse artikel over een transfiniet getal stond ook een interpretatie voor : Het het aantal mogelijke krommen op een postzegel.

Voor zou geen interpretatie mogelijk zijn, maar als je zegt dat dat het aantal mogelijke krommen in een oneindig groot vlak zou zijn is dat dezelfde vergelijking als waar nu het probleem over gaat: het aantal getallen tussen bijv. 1 en 2, vergelijk met aantal krommen op een postzegel en het aantal getallen tussen 1 en , vergelijk met het aantal krommen in een oneindig vlak. Voor het aantal krommen in een oneindig vlak en voor het aantal getallen tussen 0 en 1 is geen verzameling gedefinieerd, toch?

Maar hoe zit het dan met het aantal getallen tussen 0 en 1? dat is zijn niet alle reële getallen, dus minder dan . Maar dan kom je weer terug bij de vraag:

arie schreef:voor elke x (0<x<1) is er precies 1 getal x+1 waarbij 1<(x+1)<2 en precies 1 getal x+2 waarbij 2<(x+2)<3, en precies 1 getal x+3, etc.
Er zijn dus oneindig keer zoveel getallen tussen tussen 1 en oneindig als tussen 0 en 1 ...

Welke redenatie is nu de juiste, of klopt er bij allebei iets niet?

daco schreef: Maar hoe zit het dan met het aantal getallen tussen 0 en 1? dat is zijn niet alle reële getallen, dus minder dan .

Het aantal elementen in een gegeven interval is hetzelfde als dat van de verzameling reële getallen, dus ook gelijk aan . Het is deze gelijkmachtigheid waarop Cantors bewijs van de overaftelbaarheid van de verzameling reële getallen gebaseerd is.

Het verschil zit hem inderdaad in de cardinaliteit.
Het aantal elementen van N is oneindig, het aantal elementen van R is oneindig, maar de cardinaliteit van R is groter dan van N.
Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinalit ... _continuum.

Op die site staan onder de kop "Sets with cardinality c" een aantal voorbeelden van verzamelingen met cardinaliteit c = Beth 1.
Hieronder vallen R, [0,1], [1,->], [1,2], [2,1000] etc.
Deze hebben allen een niet-aftelbaar (overaftelbaar) oneindig aantal elementen,
waarbij Card([0,1]) = Card( [1,->]) = Card([1,2]) = Card([2,3]) = Card([0,3]) = Card(R) = Beth 1.
Dit gaat in tegen de intuitie, maar wordt verklaard door de overaftelbare oneindigheid.

Hilberts Hotel gaat daarentegen over aftelbaarheid, dus over Aleph 0 = Beth 0.

Rekenen met oneindig zou meer consequenties hebben, neem bijvoorbeeld de vergelijking
2x = 2
met als oplossing x=1,
tegenover
6x = 4x + 2
met als oplossing x = 1 OF x = oneindig OF x = - oneindig.
Op deze manier zouden deze twee vergelijkingen niet meer gelijkwaardig zijn.

Leuke problematiek!

idefix schreef:

daco schreef: Mijn excuses als ik dat onduidelijk heb aangegeven.

Geen excuses nodig, hoor. Het was zeker duidelijk genoeg.
Ik was al blij dat ik me een mening kon vormen hieromtrent.

Ok, fijn, dan zal ik, mocht er nog een dergelijk topic komen, dezelfde lay-out met waarschuwing aanhouden.

Ik had een boek in handen*,
Uit waarin vond ik nog een mooie illustratie stond voor het gegeven dat op een interval het verschil tussen hoogste en laagste getal niet beslist hoeveel waarden daartussen liggen. Lange zin. Voorbeeld:

arie schreef:Card([0,1]) = Card( [1,->])

Door de voorbehouden rechten, in eigen woorden.
Aristoteles zijn wielparadox.
Gegeven: Er zijn 2 wielen, met een ongelijke straal. Beide wielen rollen over horizontale wegen. De centra van de wielen zijn op gelijke hoogten en verbonden. De wegen zijn dus niet op gelijke hoogte.
Beide wielen hebben evenveel punten op de omtrek.
De paradox: verwacht wordt dat het samengestelde wiel even ver rolt als het kleine of het grote wiel afzonderlijk, terwijl eigenlijk het grotere wiel bij dezelfde draaiingshoek verder rolt dan het kleine wiel. Het grote wiel neemt het kleine wiel mee in plaats van dat het kleine zelf rolt.

Voorbeeld: een wiel met een omtrek van 2 en een wiel met een omtrek van 4. Vergelijk het verschil in omtrek met het verschil van het interval, Card([1,3])=Card([5,9]) maar Beide hebben wel evenveel punten/waarden.

*Titel: Het Wiskunde Boek;
Auteur: Clifford A. Pickover;
Uitgever: Librero;
ISBN: 978-90-8998-037-3
Dit is een Nederlandstalige editie; oorspronkelijke titel: The Math Book.