getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode
getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode
Ik probeer de somfunktie van de delers van de kwadraten van n te herschrijven met de Dirichlet hyperboolmethode met bewijs van alle tussenstappen.
We starten met
met
: het aantal delers
: de Möbius funktie
Eerste stap is dit te bewijzen.
p.s. Ik ken min of meer de richting waarin het verder moet, maar ben nog op zoek naar grondig inzicht in de tussenstappen. Aarzel niet om tussen te komen met bewijzen of bedenkingen.
We starten met
met
: het aantal delers
: de Möbius funktie
Eerste stap is dit te bewijzen.
p.s. Ik ken min of meer de richting waarin het verder moet, maar ben nog op zoek naar grondig inzicht in de tussenstappen. Aarzel niet om tussen te komen met bewijzen of bedenkingen.
Laatst gewijzigd door wnvl op 04 mei 2012, 20:11, 1 keer totaal gewijzigd.
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule
wnvl schreef: Eerste stap is dit te bewijzen.
Als ,
dan is
als kwadraatvrij is, d.w.z. een product van verschillende priemgetallen, en anders 0.
is dus
waarbij alle mogelijke combinaties van nullen en enen doorlopen.
Probeer volledige inductie naar k.
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule
Als de formule geldt voor k, dan krijgen we voor k+1.
Hieruit volgt de formule.
Hieruit volgt de formule.
Laatst gewijzigd door wnvl op 04 mei 2012, 18:10, 1 keer totaal gewijzigd.
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule
Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor
Ik veronderstel voor de eenvoud dat N een kwadraat is.
Twee voorbeelden
Ik veronderstel voor de eenvoud dat N een kwadraat is.
Twee voorbeelden
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule
.wnvl schreef:
Dit is het aantal getallen <=N dat kwadraatvrij is.
Dat tellen we als volgt.
Begin met alles
N.
Daaruit schrappen we alle getallen die deelbaar zijn door p^2 (p een priemgetal).
Dat doen we voor alle priemgetallen.
We houden over:
Daarbij hebben we iets te veel afgetrokken van N, want sommige getallen zijn door zowel p^2 als q^2 deelbaar (p en q zijn 2 gekozen priemgetallen).
Die dubbelen moeten we er weer bij doen, dus hebben we
Nu hebben we er weer teveel bijgeteld, namelijk de getallen die door p^2 en q^2 en r^2 deelbaar zijn zijn 3 maal van N afgetrokken en vervolgens 3 maal bijgeteld, dus moeten ze er nog een keer vanaf.
Resultaat
Zo blijven we doorgaan en krijgen we de formule in het rechter lid.
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule
Ja, dat is het.
Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor
Deze zie ik wel in zonder formeel bewijs.
Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor
Deze zie ik wel in zonder formeel bewijs.
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode
Stel F en G de bovenstaande somfuncties van respectievelijk en
Dan zou moeten gelden volgens de Dirichlet hyperbool methode
Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode
Opgelost met de nodige hulp.