integraal
Geplaatst: 24 jul 2020, 00:51
Ik bereken een integraal op 2 verschillende manieren en kom verschillende uitkomsten uit.
Wat is de verklaring hiervoor ?
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}x)}{\sqrt{(\sqrt{2}x)^2-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right |\, +C\)
Deze bovenstaande uitkomst heb ik berekend met een formule uit het boek.
Onderstaand probeer ik zelf deze integraal te berekenen.
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\)
\(x^2 - \frac{5}{2}> 0\)
\(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}= t\)
\(1\, +\, \frac{2x}{2\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, =\, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, +\, x}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{t}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{t}\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\, =\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | t \right |\, +\, C\)
\(=\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, \right |\, +\, C\)
Met bovenstaande kom ik dus een ander resultaat uit.
Waar doe ik iets fout ?
Wat is de verklaring hiervoor ?
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{d(\sqrt{2}x)}{\sqrt{(\sqrt{2}x)^2-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | \sqrt{2}x\, +\, \sqrt{2x^2-5} \right |\, +C\)
Deze bovenstaande uitkomst heb ik berekend met een formule uit het boek.
Onderstaand probeer ik zelf deze integraal te berekenen.
\(\int \frac{dx}{\sqrt{2x^{2}-5}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\)
\(x^2 - \frac{5}{2}> 0\)
\(x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}= t\)
\(1\, +\, \frac{2x}{2\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, =\, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, +\, x}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{t}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{dx}\)
\(\frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \, \frac{dt}{t}\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\frac{5}{2}}}\, = \,\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{dt}{t}\, =\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | t \right |\, +\, C\)
\(=\, \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left | x\, +\, \sqrt{x^2-\frac{5}{2}}\, \right |\, +\, C\)
Met bovenstaande kom ik dus een ander resultaat uit.
Waar doe ik iets fout ?