Is de volgende rij convergent of divergent ? Bepaal zo mogelijk de limiet.
\(u_{n}=2\, +\, (-\frac{2}{3})^{n}\)
Het tweede deel van deze rij wisselt telkens van teken en ik weet niet hoe ik
die limiet moet bepalen van dit alternerende deel ?
rijen
Re: rijen
Je kan de definitie gebruiken maar ook de insluitstelling,
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Convergen ... itstelling
Dit laatste werkt vaak eenvoudiger:
Kan je 2 rijen \(a_n\) en \(b_n\) bedenken,
zodanig dat voor alle n geldt:
\(a_n \le u_n \le b_n\)
en zodanig dat
\(a_n\) en \(b_n\) dezelfde limiet L hebben?
Wat is dan dus de limiet van jouw rij \(u_n\) ?
zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Convergen ... itstelling
Dit laatste werkt vaak eenvoudiger:
Kan je 2 rijen \(a_n\) en \(b_n\) bedenken,
zodanig dat voor alle n geldt:
\(a_n \le u_n \le b_n\)
en zodanig dat
\(a_n\) en \(b_n\) dezelfde limiet L hebben?
Wat is dan dus de limiet van jouw rij \(u_n\) ?
Re: rijen
Aangezien \(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\) volgt uit de insluitingsstelling :
Als \(\lim_{n \to +\infty} \left | u_{_{n}} \right |\, =\, 0\) dan is \(\lim_{n \to +\infty} u_{_{n}} \, =\, 0\)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})=\lim_{n \to +\infty} 2\, +\, \lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
\(\lim_{n \to +\infty}\left | (-\frac{2}{3})^{n} \right |=0 \,\) bijgevolg \(\,\lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}=0 \)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})\, =\, 2+0=2\)
Dus de rij is convergent en heeft als limiet 2.
Ik probeerde eerst 2 rijen te vinden waarvan 1 boven en 1 onder bovenstaande rij lag met dezelfde limiet.
Maar mijn graf. rekenmachine kon de functie \(\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\) niet weergeven waarschijnlijk
vermoed ik omdat de opeenvolgende coördinaten heen en weer tussen + en - sprongen. Een tabel kon ik wel aflezen.
Wanneer ik de functie \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\) probeerde weer te gaven als grafiek lukte dit wel en kon ik mooi zien dat deze naar 0 naderde voor \(n \to +\infty\)
Als \(\lim_{n \to +\infty} \left | u_{_{n}} \right |\, =\, 0\) dan is \(\lim_{n \to +\infty} u_{_{n}} \, =\, 0\)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})=\lim_{n \to +\infty} 2\, +\, \lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
\(\lim_{n \to +\infty}\left | (-\frac{2}{3})^{n} \right |=0 \,\) bijgevolg \(\,\lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}=0 \)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})\, =\, 2+0=2\)
Dus de rij is convergent en heeft als limiet 2.
Ik probeerde eerst 2 rijen te vinden waarvan 1 boven en 1 onder bovenstaande rij lag met dezelfde limiet.
Maar mijn graf. rekenmachine kon de functie \(\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\) niet weergeven waarschijnlijk
vermoed ik omdat de opeenvolgende coördinaten heen en weer tussen + en - sprongen. Een tabel kon ik wel aflezen.
Wanneer ik de functie \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\) probeerde weer te gaven als grafiek lukte dit wel en kon ik mooi zien dat deze naar 0 naderde voor \(n \to +\infty\)
Re: rijen
Als de limiet van \(u_n = 2\) is, dan is de limiet van \(|u_n| = 2\) en van \(-|u_n| = -2\).Steinbach schreef: ↑05 aug 2020, 14:43Aangezien \(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\) volgt uit de insluitingsstelling :
Als \(\lim_{n \to +\infty} \left | u_{_{n}} \right |\, =\, 0\) dan is \(\lim_{n \to +\infty} u_{_{n}} \, =\, 0\)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})=\lim_{n \to +\infty} 2\, +\, \lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
\(\lim_{n \to +\infty}\left | (-\frac{2}{3})^{n} \right |=0 \,\) bijgevolg \(\,\lim_{n \to +\infty}\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}=0 \)
\(\lim_{n \to +\infty} (2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n})\, =\, 2+0=2\)
Dus de rij is convergent en heeft als limiet 2.
Dus met je eerste keuze van \(a_n\) en \(b_n\), dat was
\(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\)
komen we niet verder omdat \(-2 \neq 2\).
Je lost dit op door te schrijven:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) = 2 + \underset{n\to \infty}{\lim} \left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
maar dan moeten we die laatste limiet nog insluiten.
Je grafische rekenmachine zal n als reeel getal ziet (\(n \in \mathbb{R}\)), en komt dan in problemen bijvoorbeeld bij n = 1/2, omdat \(\left(-\frac{2}{3} \right)^{1/2}\) complex is.Steinbach schreef: Ik probeerde eerst 2 rijen te vinden waarvan 1 boven en 1 onder bovenstaande rij lag met dezelfde limiet.
Maar mijn graf. rekenmachine kon de functie \(\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\) niet weergeven waarschijnlijk
vermoed ik omdat de opeenvolgende coördinaten heen en weer tussen + en - sprongen. Een tabel kon ik wel aflezen.
Wanneer ik de functie \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\) probeerde weer te gaven als grafiek lukte dit wel en kon ik mooi zien dat deze naar 0 naderde voor \(n \to +\infty\)
Maar dat heen en weer springen is wel de weg naar de oplossing:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) =\underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + (-1)^n \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)
Dus voor oneven n geldt (want dan is \((-1)^n = -1\)):
\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
en voor even n geldt (want in dit geval is \((-1)^n = 1\)):
\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
Hierdoor geldt voor alle n:
\( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \le u_n \le 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
waardoor
\( \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right) \le \underset{n\to \infty}{\lim} u_n \le \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)
en de buitenste 2 limieten kan je gebruiken als \(a_n\) resp \(b_n\) in de insluitstelling.
Kijk of die 2 limieten gelijk zijn, en zo ja, dan heb je tevens de limiet voor n naar oneindig van \(u_n\) gevonden.
PS:
ik heb je x<>n typo's gecorrigeerd.
Re: rijen
Stel \(w_{n}\, =\, (-\frac{2}{3})^{n}\)arie schreef: ↑05 aug 2020, 23:20
Als de limiet van \(u_n = 2\) is, dan is de limiet van \(|u_n| = 2\) en van \(-|u_n| = -2\).
Dus met je eerste keuze van \(a_n\) en \(b_n\), dat was
\(-\left | u_{n} \right |\, \leq u_{n} \leq \left | u_{n} \right |\)
komen we niet verder omdat \(-2 \neq 2\).
Je lost dit op door te schrijven:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) = 2 + \underset{n\to \infty}{\lim} \left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\)
maar dan moeten we die laatste limiet nog insluiten.
\((-\frac{2}{3})^{n}\, =\, (-1)^{n}\, .\, (\frac{2}{3})^{n}\)
n oneven
\(-(\frac{2}{3})^{n}\)
n even
\((\frac{2}{3})^{n}\)
Voor alle n
\(-(\frac{2}{3})^{n}\, \leq \, w_{n}\, \leq \, (\frac{2}{3})^{n}\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(-(\frac{2}{3})^{n})\, \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(\frac{2}{3})^{n} \)
\(0 \leq \, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, \leq \, 0\)
Daaruit volgt : \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n}\, = \, 0\)
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}u_{n}\, = 2 + \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}w_{n} = 2 + 0 = 2\)
Analoog met de bewerking die ik hierboven heb uitgewerkt met jouw hulp.arie schreef: ↑05 aug 2020, 23:20Maar dat heen en weer springen is wel de weg naar de oplossing:
\(\underset{n\to \infty}{\lim} \left(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n}\right) =\underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + (-1)^n \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)
Dus voor oneven n geldt (want dan is \((-1)^n = -1\)):
\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
en voor even n geldt (want in dit geval is \((-1)^n = 1\)):
\(2+\left ( -\frac{2}{3} \right )^{n} = 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
Hierdoor geldt voor alle n:
\( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \le u_n \le 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\)
waardoor
\( \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right) \le \underset{n\to \infty}{\lim} u_n \le \underset{n\to \infty}{\lim} \left( 2 + \left ( \frac{2}{3} \right )^{n}\right)\)
en de buitenste 2 limieten kan je gebruiken als \(a_n\) resp \(b_n\) in de insluitstelling.
Kijk of die 2 limieten gelijk zijn, en zo ja, dan heb je tevens de limiet voor n naar oneindig van \(u_n\) gevonden.
In het handboek stond er eigenlijk niets bruikbaar hoe de insluitingsstelling eigenlijk echt in elkaar zit.
Dank voor je hulp arie.