Wiskundeforum

f(x)= x^4 + x^3 - 10x - 16

Bij deze oefening moet ik de nulwaarden bepalen.
Wanneer ik horner toepas op deze exacte formule, zonder die te vereenvoudigen, vind ik geen oplossingen.

Wie helpt mij voort?
Moet ik dit wel vereenvoudigen? En zo ja, hoe?

In het algemeen is het lastig een vierdegraadsvergelijking op te lossen,
zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation
Ook de gegeven functie f(x) heeft geen triviale nulpunten.

Het hangt er dus van af wat de bedoeling is van de opgave:
- ofwel via de formules in bovenstaande URL
- ofwel via benaderingsalgoritmen (voor tenminste 2 van de oplossingen)
- ofwel nog wat anders

Het kan ook zijn dat het drukfout is, en dat de functie niet moet zijn
f(x) = x^4 + x^3 - 10x - 16
maar bijvoorbeeld
f(x) = x^4 + x^3 - 4x - 16

Dag Arie,

Het is geen drukfout, maar een typfout van mij. Sorry!
De functie is inderdaad x^4 - x^3 + 4x - 16

Kan je me dan tips geven hoe dit op te lossen?

Dank je!
Nina

We gaan proberen de veelterm (= polynoom) te ontbinden in factoren.
Als dit lukt dan kunnen we daarmee mogelijk één of meerdere nulpunten bepalen.

We hebben hier een veelterm
\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + .... + a_1 x + a_0\)
met geheeltallige coefficienten.

Definieer \(q = \frac{p}{r} \in \mathbb{Q}\) met \( p \in \mathbb{Z}\), \(r \in \mathbb{N}^+\) en q in gereduceerde (= maximaal vereenvoudigde) vorm, dus waarbij de grootste gemene deler van p en r gelijk is aan 1.
Dan is \(q \in \mathbb{Q}\) een nulpunt van zo'n veelterm als geldt dat
\(r\) een deler is van \(a_n\) en dat \(p\) een deler is van \(a_0\)

In ons geval hebben we te maken met deze vierdegraads veelterm (n=4):
\(x^4 - x^3 + 4x - 16\)
Omdat de coefficient van \(x^4 = 1\), moet ook \(r=1\) zijn.
Als er een nulpunt q is, dan is deze dus geheeltallig: q = p/r = p/1 = p.

We weten ook dat p een deler is van 16, dus:
\(q = p \in \{ \pm 1,\; \pm 2,\; \pm 4,\; \pm 8,\; \pm 16 \}\)
Substitueer elk van deze 10 waarden van q voor x in de veelterm, en kijk wanneer deze nul wordt.
Voorbeeld: \(q=-1\; \Rightarrow \; q^4 - q^3 + 4q - 16 = -18 \neq 0\)

Welke nulpunten vind je op deze manier?

Voor elk nulpunt \(q\) kan je een factor \((x-q)\) uit de veelterm delen.
Lukt het je om de twee hierboven gevonden oplossingen uit de veelterm te delen?
Wat daarna (in dit geval) overblijft is een tweedegraads veelterm, waarvan je de nulpunten met de abc-formule kan bepalen.

Dank je!
Wat een duidelijke uitleg...

Ik heb nu de twee waarden voor q gevonden.
Ik weet eigenlijk niet hoe je de vierdegraadsvergelijking deelt door (x-q).
Kan je daar verder mee helpen?

Ik had de oefening met horner proberen oplossen, maar dan kom ik niet op deze oplossing.
Mag je met een vierdegraadsvergelijking misschien horner niet toepassen?
Of is er een andere reden?

Het idee is dat we alle termen van de polynoom wegwerken, te beginnen met de term met de hoogste macht van x, doorgaand tot aan de term met de laagste macht van x.

Hierboven voor \(f(x) = x^4 - x^3 + 4x - 16\) ofwel \(f(x) = x^4 - x^3 + 0x^2 + 4x - 16\) gedeeld door \(x-2\) :
- om de \(x^4\) weg te werken, trekken we eerst \(x^3\cdot (x-2) = x^4 - 2x^3\) van f(x) af (in rood weergegeven). Als we alleen naar de relevante termen kijken (= termen met machten van x waarvoor er iets verandert), houden we \((x^4 -x^3) - (x^4 - 2x^3) = x^3\) over.
- om die \(x^3\) weg te werken, trekken we vervolgens \(x^2\cdot (x-2) = x^3 - 2x^2\) van f(x) af (in blauw weergegeven). Als we alleen naar de relevante termen kijken, houden we \((x^3 +0x^2) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2\) over.
- om die \(2x^2\) weg te werken, trekken we vervolgens \(2x\cdot (x-2) = 2x^2 - 4x\) van f(x) af (in groen weergegeven). Als we alleen naar de relevante termen kijken, houden we \((2x^2 +4x) - (2x^2 - 4x) = 8x\) over.
- om tenslotte de \(8x\) weg te werken, trekken we \(8\cdot (x-2) = 8x - 16\) van f(x) af (in paars weergegeven). Als we alleen naar de relevante termen kijken, houden we \((8x - 16) - (8x - 16) = 0\) over.

De rest van de einduitkomst van deze deling is nul omdat x=2 een nulpunt levert van f(x).
We vinden dus:
\(f(x) = x^4 - x^3 + 4x - 16 = (x-2)(x^3+x^2+2x+8)\)
(dit antwoord kan je altijd achteraf controleren door de gevonden factoren \((x-2)\) en \((x^3+x^2+2x+8)\) weer met elkaar te vermenigvuldigen).

Het andere nulpunt dat je gevonden hebt zal x=-2 zijn.
Je kan \((x+2)\) dus ook uit \(f(x)\) delen, ofwel (wat minder werk is):
\((x+2)\) uit de overgebleven factor \((x^3+x^2+2x+8)\) delen.
Lukt je dit nu?

Ik kom zo uit op \(f(x) = (x-2)(x+2)(x^2-x+4)\)
De laatste factor heeft 2 complexe oplossingen (die je bv. met de abc-formule kan vinden), en is in \(\mathbb{Q}\) of \(\mathbb{Z}\) dus niet verder te ontbinden.


Wat betreft de regel van Horner:
deze heeft geen beperking op de graad van de veelterm.
Hier een voorbeeld met een zesde-graad veelterm:
https://en.wikipedia.org/wiki/Horner%27 ... ot_finding
Of gebruiken jullie deze regel wellicht op een andere wijze dan hier beschreven?