vraag hoe oplossen

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Eurydice
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 04 feb 2023, 20:29

vraag hoe oplossen

Bericht door Eurydice » 14 mar 2023, 23:50

Ik zie de stappen, maar ik begrijp niet hoe je erbij komt... https://imgur.com/a/C9lw6lY
https://imgur.com/a/C9lw6lY

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3905
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vraag hoe oplossen

Bericht door arie » 15 mar 2023, 08:42

Alle noemers van de breuken hebben de vorm \(f^k\left(\frac{1}{k}\right)\)
Het ligt dan voor de hand om te zoeken naar een eenvoudige uitdrukking hiervoor:
\(f^k\left(\frac{1}{k}\right) =\; ...\)

Om te zien wat dit betekent kan je zo nodig eerst eens kijken naar een voorbeeld met een eenvoudige waarde van k.
Kies bijvoorbeeld k=3, waarbij we f drie keer moeten toepassen volgens de definitie van samenstelling:
\(f^3\left(\frac{1}{3}\right) = f \circ f \circ f\left( \frac{1}{3}\right) = f\left( f\left( f\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\)

Dit werken we van binnen naar buiten uit volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( f\left( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{1+3}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{4}\right)\right)\)
en dan opnieuw volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{1+4}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{5}\right)\)
en tenslotte de derde en laatste f:
\(= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}\)
\(= \frac{1}{1+5}\)
\(= \frac{1}{6}\)

Bovenstaande berekening wordt in je oplossing (= in je antwoordmodel) op dezelfde wijze uitgerekend, maar dan in het algemeen (= voor elke gegeven waarde k).
Op die manier komen ze tot de formule
\(f^k\left( \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{2k}\)
waarbij ze gebruik maken van het feit dat voor functie f (éénmalig uitgevoerd) voor elke n groter dan nul steeds geldt:
\(f \left( \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n+1}\)
zoals direct volgt uit het functievoorschrift van f.

Dat geeft tenslotte toegepast op elke term van de opgave:
\(\frac{1}{f^1\left( \frac{1}{1}\right)}+\frac{1}{f^2\left( \frac{1}{2}\right)}+\frac{1}{f^3\left( \frac{1}{3}\right)}+\; ... \; \frac{1}{f^{13}\left( \frac{1}{13}\right)}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{6}} + ... + \frac{1}{\frac{1}{26}}\)
\(= 2+4+6+...+26\)

In feite gebeurt hier dus niets anders dan het herhaald toepassen van de gegeven definities.

Wordt het hiermee wat duidelijker?

Eurydice
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 04 feb 2023, 20:29

Re: vraag hoe oplossen

Bericht door Eurydice » 15 mar 2023, 12:07

SUPER! Heel erg bedankt Arie!

Plaats reactie