Hulp gevraagd bij dit raadsel

[rhschipper]

Goedenavond,

graag leg ik dit raadsel aan jullie voor. Ik kom er zelf niet uit...

Een man wil als eerste door de woestijn het beginpunt van de Nijl bereiken. Als vervoermiddel kiest hij uiteraard voor een kameel. Omdat onderweg echter geen voedsel is te vinden voor een kameel neemt hij appels mee.
Aan het begin van de reis heeft hij een voorraad van 1000 appels. De kameel kan per rit 200 appels meenemen. De kameel verbruikt als brandstof 1 appel per km.
De vraag is nu hoeveel km het startpunt maximaal van het beginpunt van de Nijl af mag liggen, zodanig dat hij met zijn kameel levend terug kan keren naar het startpunt.

Dank voor het meedenken!

[arie]

Kijk eens naar deze pagina (jouw vraag is een variant hierop):
https://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem
Kom je er nu uit?

[rhschipper]

Dank, ik ga het eens even bekijken... Ik ben echter niet gezegend met een groot wiskundig inzicht, dus mogelijk kom ik nog bij jullie terug

[arie]

Dan is die pagina wat beknopt en kan je mogelijk extra info gebruiken:

Vanaf het beginpunt neemt de kameel steeds het maximale aantal appels mee.
Hij kan dan 1000 / 200 = 5 ritten de woestijn in maken.

Op de eerste rit gaat hij steunpunt_1 aanleggen.
Dit zal hij elke volgende rit op de heenreis gebruiken om zich vol te tanken tot 200,
en op elke terugreis moet hij er genoeg hebben om het beginpunt terug te bereiken.
Omdat hij 5 keer op of langs steunpunt_1 komt, heen en terug, moet hij de afstand van beginpunt naar steunpunt_1 in totaal dus 10 keer overbruggen.
Dit steunpunt moet dus op 200 appels / 10 ritten = 20 appels = 20 km afstand van het beginpunt liggen (de kameel loopt 1 km op 1 appel).
De heenreis kost 20 appels, de terugreis kost 20 appels, er liggen nu 200 - 40 = 160 appels op steunpunt_1 (= goed voor nogmaals 4 keer vanaf het beginpunt op en neer naar steunpunt_1).

In de tweede rit start hij weer met 200 appels.
Hij komt eerst langs steunpunt_1 op 20 km en heeft daarbij dan 20 appels verbruikt; hij heeft er zelf dus nog 180 over.
Hij vult zijn appels op steunpunt_1 weer aan tot 200, steunpunt_1 heeft nu 160 - 20 = 140 appels, de kameel weer 200.
Nu gaat hij steunpunt_2 bouwen.
Hij moet daarvoor vanuit steunpunt_1 naar steunpunt_2 en weer terug, en zal nogmaals 3 keer op en neer langs steunpunt_2 gaan tijdens de volgende ritten.
De afstand van steunpunt_1 naar steunpunt_2 moet hij in totaal dus 8 keer overbruggen.
Steunpunt_2 moet dus op 200 appels / 8 ritten = 25 appels = 25 km (de kameel loopt 1 op 1)
afstand van steunpunt_1 liggen.
De rit van steunpunt_1 naar steunpunt_2 kost dus 25 appels, de kameel heeft er 175 over,
hij legt 150 appels neer op steunpunt_2, en heeft er dan zelf nog 25 over, precies genoeg om steunpunt_1 terug te kunnen bereiken.
Daar aangekomen heeft hij geen appels over, neemt er van steunpunt_1 20 af om het beginpunt terug te bereiken (steunpunt_1 heeft er dan nog 140 - 20 = 120 over).
Met die 20 appels heeft hij dan precies genoeg om het beginpunt weer te halen.
Merk op: steunpunt_2 ligt op 20 + 25 = 45 km van het beginpunt.

In de derde rit start hij weer met 200 appels, gaat langs steunpunt_1 waar hij zich weer volgooit met 20 appels, gaat door naar steunpunt_2 waar hij zich weer volgooit met 25 appels, en daarna kan hij steunpunt_3 gaan bouwen.
Etc.

[rhschipper]

Hallo Arie,

dank voor je uitgebreide voorzet. Ik ga een poging doen het raadsel op te lossen en zal mijn verdere uitwerking hier posten. Ai, schreef ik dat echt??

Ronald

[rhschipper]

Hier is de verdere uitwerking al. Ik ben benieuwd of dit juist is...

Ronald

Afstand steunpunt 2 naar 3 moet hij 6 keer overbruggen. Om alleen hele appels te verstoken ligt steunpunt_3 op 198 / 6 = 33 appels = 33 km.
De rit van 2 naar 3 kost 33 appels. Hij legt er 132 neer en heeft dan nog 33 over, precies genoeg om weer terug te komen bij het startpunt. Dat kost hem (via punt 2 en 1) nog eens 45 appels.
Steunpunt 3 ligt op 20 + 25 + 33 = 78 km van het beginpunt. Nu gaat hij steunpunt 4 bouwen

Afstand steunpunt 3 naar 4 moet hij 4 keer overbruggen. Steunpunt_4 ligt op 200 / 4 = 50 appels = 50 km.
De rit van 3 naar 4 kost 50 appels. Hij legt er 100 neer en heeft dan nog 50 over, precies genoeg om weer terug te komen bij het startpunt. Dat kost hem (via 3, 2 en 1) nog eens 78 appels.
Steunpunt 4 ligt op 20 + 25 + 33 + 50 = 128 km van het beginpunt. Nu gaat hij het eindpunt bepalen!

Afstand steunpunt 4 naar eindpunt moet hij 2 keer overbruggen. Het eindpunt ligt op 202 (er waren er immers nog 2 appels over, omdat bij steunpunt 3 maar 198 appels werden meegenomen) / 2 = 101 appels = 101 km.
De rit van steunpunt 4 naar eindpunt kost 101 appels. Hij heeft er dan nog 101 over, precies genoeg om weer terug te komen bij het startpunt. Dat kost hem nog eens 179 appels.
Het eindpunt ligt dus op 20 + 25 + 33 + 50 + 101 = 229 km van het beginpunt.


Voor de zekerheid nog even deze vraag: het is de bedoeling dat de kameel eerst 1 appel voordat hij een km kan lopen. Volgens mij heeft dat geen gevolgen voor uitkomst, maar ik vraag het toch nog maar even

[arie]

... Afstand steunpunt 4 naar eindpunt moet hij 2 keer overbruggen. Het eindpunt ligt op 202 (...) / 2 = 101 appels = 101 km. ...

De kameel kan maximaal maar 200 appels tegelijkertijd vervoeren, 202 is dus te veel.

Voor de zekerheid nog even deze vraag: het is de bedoeling dat de kameel eerst 1 appel voordat hij een km kan lopen. Volgens mij heeft dat geen gevolgen voor uitkomst, maar ik vraag het toch nog maar even

In de oorspronkelijke opgave gaat het over een Jeep, de brandstof zal je daarbij vooraf in de tank moeten gooien.
In onze berekening maakt het inderdaad niet uit of je de energiebalans van de kameel vooraf of achteraf herstelt.
Overigens: het gehele beschreven eetschema (precies 1 appel per precies 1 km) lijkt me niet echt realistisch voor een kameel.
Dit is waarschijnlijk alleen zo gesteld voor de opgave.

Evenzo weten we niet of de kameel een gedeelte (bv. 1/3 deel) van een appel mag eten. Waarschijnlijk is dit wel toegestaan, net zoals in de oorspronkelijke Jeep-opgave.

NOOT:
Als antwoord vonden we dus:













waarbij H_n het n-de harmonische getal is:



zie bijvoorbeeld https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number

In ons probleem is n = het aantal ritten dat de kameel maakt = beginvoorraad appels / 200.

Het leuke is dat H_n onbegrensd is, dus dat de kameel elke gewenste afstand kan afleggen.
Het nadeel is dat H_n heel langzaam groeit:
H_11 ~= 3.01..., voor 300 km heeft de kameel dus 11 * 200 = 2200 appels nodig
H_83 ~= 5.02..., voor 500 km heeft de kameel dus 83 * 200 = 16600 appels nodig
H_12367 ~= 10.000043..., voor 1000 km heeft de kameel dus 12367 * 200 = 2473400 appels nodig

[parko]

... Afstand steunpunt 4 naar eindpunt moet hij 2 keer overbruggen. Het eindpunt ligt op 202 (...) / 2 = 101 appels = 101 km. ...

De kameel kan maximaal maar 200 appels tegelijkertijd vervoeren, 202 is dus te veel.


voor 1000 km heeft de kameel dus 12367 * 200 = 2473400 appels nodig

als de kameel 200 appels kan vervoeren, wat sluit dan uit dat die ook nog zijn buikje rond eet voor die vertrekt? als die er in slaagt om 800 appels te eten. zou die toekomen voor die 1000km