Pagina 2 van 2
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 16 sep 2013, 00:49
door David
op=op schreef:
Welk argument heb je daar voor? Stijgend en begrensd?
Inspectie. Voor betrekkelijk kleine waarden van n lijkt het zo dat u_n twee nadert, en vrij snel. Maar dit is niet het sluitende argument. Voor u_100 in
^{u_{n-1}})
vind ik 1.99999999999999994701...
Ik ben nog niet uit het convergentiebewijs, maar ik denk het volgende, voor het begrenzen:
a^x is stijgend als a > 1 en x toeneemt.
stel elk lid van de ongelijkheid de macht een macht met het lid als de exponent als grondtal
. Ik denk dat dit toont dat de power tower <= 2 is, maar een vergelijkbare redenatie toont ook dat het <= 4 is wat samen <= 2 geeft?
De oplossing 4 die je geeft is wel interessant. Werken we met
^{u_{n-1}})
dan geldt (te bewijzen?) dat
als a < 4 dan u_n -> 2,
als a = 4 dan u_n -> 4,
anders, als a > 4 dan u_n -> oneindig
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 16 sep 2013, 08:04
door op=op
voor n>0.
Met volledige inductie is hieruit aan te tonen dat
voor alle n.
Het klopt voor n=0.
Stel
,
dan is
inductiehypothese en
is stijgend
 }\sqrt{2}^2 = 2)
.
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 16 sep 2013, 16:59
door David
Hoe kan je hieruit opmaken dat x = sqrt(2) ook daadwerkelijk 2 geeft in plaats van een getal <= 2 (uitsluiten van <)?
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 16 sep 2013, 19:47
door barto
Ik denk omdat de vergelijking
slechts 2 en 4 als oplossingen heeft.
Nu blijft het nog zoeken of
ook een oplossing is...
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 17 sep 2013, 09:19
door David
Lijkt me een goede verklaring, maar er was twijfel over die methode als ik het goed begrijp, juist omdat het twee oplossingen geeft, zowel voor sqrt(2)^sqrt(2)^(...) als voor x^x^x^x = 2.
Met de recursie krijg ik periodieke waarden; u(n) = u(n+9). Inspectie maar lijkt mee bewijs tegen convergentie.
Code: Selecteer alles
i u(i)
0 -1.414213562373095048801688724
1 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
2 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
3 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
4 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
5 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
6 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
7 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
8 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
9 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
10 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
11 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
12 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
13 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
14 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
15 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
16 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
17 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
18 -1.414213562373095048801688724 + 0.E-28*I
19 -0.1630939979434148549219376046 + 0.5904359195385348206231159852*I
20 0.1409212957930527495362158019 - 0.04479089834173139805294192888*I
21 1.100086307006725314269837041 + 0.5007913460540363527439209913*I
22 -0.2681687815685467766929081022 - 0.1423469205538788661195174125*I
23 0.8949807505630137397356148928 - 1.109042679617501408669836778*I
24 -33.58356301575628477871874181 + 29.11763055893673889530931102*I
25 6.491878472558128291346615845 E-46 - 1.518078385198129994507331585 E-45*I
26 1.000000000000000000000000000 + 1.513357895454095189313419222 E-45*I
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 17 sep 2013, 13:43
door op=op
Je 26-ste regel lijkt 1 te zijn.
Dat is niet zo, het is
1,000000000000000000000000000000000000000000004994175...+ 1.513...E-45*I
Curieus.
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 17 sep 2013, 15:02
door barto
Heel erg vreemd dat
. Dan is
^{u_6}=0)
?
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 17 sep 2013, 15:21
door David
Ja, dat is vreemd. Ik heb dit in Pari gedaan. Hier is mijn code:
Code: Selecteer alles
u(n)=if(n==0,-sqrt(2),(-sqrt(2))^u(n-1))
for(i=0,26,print(i" "u(i)))
Als ik de precisie groter zet dan krijg ik andere waarden, en geldt niet meer u(n) = u(n+9).
u6 is klein, vrij ver onder 0 zodat (-sqrt(2))^u6 ook vrij dicht bij 0 ligt, maar niet 0 is.
Met grotere precisie:
26 1.00000000000000000000000000000000000000000000499417526550148 + 1.51335789545409518931341943571924924655536978340274893967275 E-45*I
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 17 sep 2013, 16:36
door parref
Jullie hebben hard gewerkt,geweldig.., veel harder dan dat ik had verwacht !
a)De uitkomst is inderdaad x = wortel 2 (in principe was deze uitkomst voldoende..).
Tenslotte ging het enkel om het truckje dat je moest bedenken om hieraan te komen.
b)De optie : x = -wortel 2 is onjuist ! Hiervoor heb ik geen perfect wiskundig bewijs van maar ik
heb het verloop van de powertoren berekend wanneer ik x vervang door -wortel 2 en dit gedurende
een reeks van machtsverheffingen. In alle gevallen kreeg ik een vorm : a + b.i waarbij de modulus
alternerend toeneemt naarmate een machtsverheffing bijkomt.
c)Hoewel niet nodig, heb ik voor mezelf ook eens de powertoren = n, met n een willekeurig getal
lopend vanaf 0 tot oneindig. Hierbij heb ik de grafiek x = f(n)geplot met de max. waarde van x
voor een bepaalde waarde van n.
Het geheel wordt binnenkort gepubliceerd.
Re: machtsverheffingen van x
Geplaatst: 18 sep 2013, 10:35
door op=op
Bij
zijn er 9 ophopingspunten waar de rij naar "convergeert".
De rij
convergeert niet naar 1.
Deze rij convergeert wel heel snel, elke term geeft 40 extra decimalen.
u(8)-u(0) ~ 10^-44
u(17)-u(8) ~ 10^-84
u(26)-u(17) ~ 10^-124
u(35)-u(26) ~ 10^-164