Kan iemand alstublieft uitleggen waarom de formule van de combinatie zo is?
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media ... bfae445b47
Liefst zo makkelijk en logisch mogelijk.
Alvast bedankt
Uitleg formule combinatie
Re: Uitleg formule combinatie
De definitie:
De combinatie \({n \choose k}\) = het aantal mogelijkheden om een verzameling ("groep") van k elementen uit een verzameling van n verschillende elementen te kiezen.
De volgorde van de elementen is hierbij niet van belang, elk element mag maximaal 1 keer gekozen worden (trekking zonder terugleggen).
Oplossing:
We tellen eerst het aantal mogelijkheden om n elementen op een (geordende) rij te plaatsen.
Dit is het aantal permutaties = rangschikkingen van n elementen:
hiervoor zijn \(n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) verschillende mogelijkheden.
Van elk rijtje nemen we de eerste k elementen als onze keuze, de overige (n-k) elementen blijven waar ze zijn.
Voorbeeld:
Stel we hebben een verzameling van n=8 elementen: {a, b, c, d, e, f, g, h} en kiezen daaruit k=3 elementen.
Van elke permutatie van n (er zijn er in totaal 8! = 40320) kiezen we steeds de eerste 3 elementen.
Van bijvoorbeeld de permutatie
e-b-g-c-a-f-h-d
kiezen we e, b en g, de overige elementen (c, a ,f ,h en d) kiezen we niet.
We splitsen op deze manier elke permutatie dus in 2 delen: de k elementen die we kiezen voorop = de kop van de permutatie, daarna de elementen die we niet kiezen = de staart van de permutatie:
e-b-g || c-a-f-h-d
Omdat bij permutaties de volgorde WEL belangrijk is, maar bij combinaties NIET, zijn er meerdere verschillende permutaties die dezelfde combinatie leveren.
Bijvoorbeeld:
g-e-b || c-a-f-h-d
e-b-g || f-a-c-d-h
g-b-e || h-f-a-d-c
etc.
Voor elke combinatie \({n \choose k}\) hebben we precies:
\(k!\) mogelijke volgordes waarin we de elementen van de kop kunnen plaatsen
en onafhankelijk daarvan
\((n-k)!\) mogelijke volgordes waarin we de elementen van de staart kunnen plaatsen
Ofwel:
Elke combinatie \({n \choose k}\) wordt door \(k! \cdot (n-k)!\) verschillende permutaties beschreven, en dat zijn precies alle permutaties die met de gekozen k elementen beginnen.
Bovendien leveren alle combinaties bij elkaar precies alle mogelijke koppen en in totaal dus alle mogelijke permutaties.
Hierdoor is het aantal combinaties
\({n \choose k} = \frac{\text{aantal permutaties}}{\text{aantal permutaties per combinatie}} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)
Wordt het hiermee wat duidelijker?
De combinatie \({n \choose k}\) = het aantal mogelijkheden om een verzameling ("groep") van k elementen uit een verzameling van n verschillende elementen te kiezen.
De volgorde van de elementen is hierbij niet van belang, elk element mag maximaal 1 keer gekozen worden (trekking zonder terugleggen).
Oplossing:
We tellen eerst het aantal mogelijkheden om n elementen op een (geordende) rij te plaatsen.
Dit is het aantal permutaties = rangschikkingen van n elementen:
hiervoor zijn \(n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) verschillende mogelijkheden.
Van elk rijtje nemen we de eerste k elementen als onze keuze, de overige (n-k) elementen blijven waar ze zijn.
Voorbeeld:
Stel we hebben een verzameling van n=8 elementen: {a, b, c, d, e, f, g, h} en kiezen daaruit k=3 elementen.
Van elke permutatie van n (er zijn er in totaal 8! = 40320) kiezen we steeds de eerste 3 elementen.
Van bijvoorbeeld de permutatie
e-b-g-c-a-f-h-d
kiezen we e, b en g, de overige elementen (c, a ,f ,h en d) kiezen we niet.
We splitsen op deze manier elke permutatie dus in 2 delen: de k elementen die we kiezen voorop = de kop van de permutatie, daarna de elementen die we niet kiezen = de staart van de permutatie:
e-b-g || c-a-f-h-d
Omdat bij permutaties de volgorde WEL belangrijk is, maar bij combinaties NIET, zijn er meerdere verschillende permutaties die dezelfde combinatie leveren.
Bijvoorbeeld:
g-e-b || c-a-f-h-d
e-b-g || f-a-c-d-h
g-b-e || h-f-a-d-c
etc.
Voor elke combinatie \({n \choose k}\) hebben we precies:
\(k!\) mogelijke volgordes waarin we de elementen van de kop kunnen plaatsen
en onafhankelijk daarvan
\((n-k)!\) mogelijke volgordes waarin we de elementen van de staart kunnen plaatsen
Ofwel:
Elke combinatie \({n \choose k}\) wordt door \(k! \cdot (n-k)!\) verschillende permutaties beschreven, en dat zijn precies alle permutaties die met de gekozen k elementen beginnen.
Bovendien leveren alle combinaties bij elkaar precies alle mogelijke koppen en in totaal dus alle mogelijke permutaties.
Hierdoor is het aantal combinaties
\({n \choose k} = \frac{\text{aantal permutaties}}{\text{aantal permutaties per combinatie}} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)
Wordt het hiermee wat duidelijker?