Pagina 1 van 1

Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 10 okt 2021, 16:58
door juvdw
Beste
Ik heb moeite met onderstaande vraagstukken :

1) Wat is het laatste cijfer van de volgende som?
S = 1! + 2! + 3! + ... + 1995! + 1996!

ik post er zo meteen nog een

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 10 okt 2021, 22:52
door arie
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33
Deze sommatie eindigt dus op een 3.
5! = 1*2*3*4*5
Hier zit het product van 2 en 5 in, en 2 * 5 = 10, dus 5! eindigt op nul
(je hoeft dus niet uit te rekenen dat 5! = 1*2*3*4*5 = 120 is: het product van 2*5=10 en een aantal andere getallen eindigt altijd op een nul).
Hoe zit dat voor 6!, 7!, 8!, ...., 1996!
Wat is dus het antwoord op de vraag?

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 11 okt 2021, 18:12
door juvdw
In de rest van de bewerking zit telkens het product 2*5, dus dat zal altijd eindigen op 0
De som zal dus eindigen op een 3
Heel erg bedankt!
Volgende oefening snap ik niet:
f(x) = x/1-x en x1 = 1/a, x2 = f(x1), x3= f(x2), ..., x23= f(x22), x24= f(23) = 1
Dan is a gelijk aan?

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 11 okt 2021, 22:27
door arie
Gegeven:

\(f(x)=\frac{x}{1-x}\)

en de rij \(x_1, x_2, x_3, ..., x_{24}\),
zodanig dat
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
en voor i = 2 t/m 24:
\(x_i = f(x_{i-1})\)
waarbij
\(x_{24} = 1\)

Met dit functievoorschrift kunnen we dus voor elke bekende \(x_{i-1}\) steeds de volgende waarde \(x_i\) bepalen:
\(x_1 = \frac{1}{a}\) (gegeven)

\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met a:
\(x_2 = f(x_1) = \frac{x_1}{1-x_1} = \frac{1/a}{1-(1/a)} = \frac{1}{a-1}\)

Hiermee bepalen we \(x_3\):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-1):
\(x_3 = f(x_2) = \frac{x_2}{1-x_2} = \frac{1/(a-1)}{1-(1/(a-1))} = \frac{1}{(a-1)-1} = \frac{1}{a-2}\)

Hiermee bepalen we \(x_4\):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))}\)
vermenigvuldig teller en noemer van de laatste breuk met (a-2):
\(x_4 = f(x_3) = \frac{x_3}{1-x_3} = \frac{1/(a-2)}{1-(1/(a-2))} = \frac{1}{(a-2)-1} = \frac{1}{a-3}\)

We hebben nu dus:
\(x_1 = \frac{1}{a}\)
\(x_2 = \frac{1}{a-1}\)
\(x_3 = \frac{1}{a-2}\)
\(x_4 = \frac{1}{a-3}\)

Waarschijnlijk heb je het patroon van deze rij zelf al gezien:
in de noemer wordt er steeds 1 meer van a afgetrokken.
Dit kunnen we ook bewijzen:
Stel \(x = \frac{1}{a-c}\), dan is
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}\)
vermenigvuldig teller en noemer met (a-c):
\(f(x) = f\left(\frac{1}{a-c}\right)=\frac{1/(a-c)}{1-(1/(a-c))}=\frac{1}{(a-c)-1} = \frac{1}{a-(c+1)}\)

Nu kunnen we zonder alle tussenliggende waarden te berekenen direct zeggen:
\(x_{24} = \frac{1}{a-23}\)
Er is gegeven dat dit laatste gelijk is aan 1, dus kunnen we a bepalen.

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 12 okt 2021, 16:46
door juvdw
Heel erg bedankt! a is dus gelijk aan 24
Voor een tweedegraadsfunctie p geldt voor elke x die element is van R dat x^2 + 2x + 1 < of gelijk aan p(x) < of gelijk aan 2x^2 + 4x + 2. Als p(3) = 20, dan is p(5) gelijk aan?

Re: Vraagstukken vwo wiskunde (help, moet morgen af!)

Geplaatst: 12 okt 2021, 18:20
door arie
Afbeelding

Het is vaak handig om eerst een plaatje te maken.
Hierboven de grafiek van
\(y = x^2+2x+1 = (x+1)^2\) (groen)
en de grafiek van
\(y = 2x^2+4x+2 = 2\cdot (x^2+2x+1) = 2\cdot (x+1)^2\) (zwart).
De grafiek van p(x) moet hier dus tussen liggen, want:

\(x^2+2x+1 \le p(x) \le 2x^2+4x+2 \)
ofwel
\((x+1)^2 \le p(x) \le 2\cdot (x+1)^2\)

Dan moet p de vorm hebben
\(p(x) = a\cdot (x+1)^2\)
waarbij \(1 \le a \le 2\)

Als gegeven is dat p(3) = 20, kan je dan de waarde van a bepalen?
En vervolgens de waarde van p(5) ?