gemiddelde berekenen met kansen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
LaLa
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 12 okt 2022, 21:33

gemiddelde berekenen met kansen

Bericht door LaLa » 12 okt 2022, 21:37

Wiske neemt deel aan de tv-quiz Switch en haalt de finale. In deze finale bevindt ze zich op plaats 5 in een
rangschikking en moet ze door vragen te beantwoorden op plaats 1 geraken. Als ze op een vraag correct
antwoordt, stijgt ze een plaats in de rangschikking (bijvoorbeeld van 5 naar 4, of van 3 naar 2), maar als
ze een vraag fout beantwoordt, moet ze helemaal terug naar plaats 5. Op plaats 5 voelt Wiske zich nog
gemakkelijk, en heeft ze 80% kans om een vraag juist te beantwoorden, maar naarmate haar positie in de
rangschikking toeneemt, stijgt ook de spanning. Op plaats 4 heeft ze nog maar 60% kans om een vraag juist
te beantwoorden, op plaats 3 is dit 40% en op plaats 2 20%.
Hoeveel vragen moet Wiske gemiddeld beantwoorden om van plaats 5 naar plaats 1 te geraken?
Wie dit vindt is een genie!!!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: gemiddelde berekenen met kansen

Bericht door arie » 13 okt 2022, 08:57

Afbeelding

Hierboven een plaatje met de 5 plaatsen (rood) en de kansen om van elke plaats door te gaan (bovenste pijlen) of terug naar plaats 5 te gaan (onderste pijlen).

Noem \(n\) het verwachte aantal vragen dat Wiske nodig heeft om van plaats 5 in plaats 1 te geraken.
We onderscheiden alle 5 mogelijke gebeurtenissen: Wiske heeft alle 4 de vragen goed, heeft vraag 1 fout, heeft vraag 2 fout, heeft vraag 3 fout of heeft vraag 4 fout.
Voor elk van deze gebeurtenissen berekenen we de kans op die gebeurtenis, en vermenigvuldigen die kans met het aantal vragen dat in dat geval nodig is om plaats 1 te bereiken.
Dan is \(n\) = de som van deze vijf (kans * aantal_vragen_nodig) producten.

[1] de kans dat Wiske alle vragen in 1 keer goed heeft is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}= \frac{24}{625}\), ze heeft dan 4 vragen beantwoord.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{24}{625}\cdot 4\)

[2] de kans dat Wiske de eerste vraag fout heeft is \(\frac{1}{5}\), ze heeft dan 1 vraag beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+1)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{1}{5}\cdot (n+1)\)

[3] de kans dat Wiske de eerste vraag goed heeft en de tweede fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{8}{25}\), ze heeft dan 2 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+2)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{8}{25}\cdot (n+2)\)

[4] de kans dat Wiske de eerste en tweede vraag goed heeft en de derde fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{36}{125}\), ze heeft dan 3 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+3)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{36}{125}\cdot (n+3)\)

[5] de kans dat Wiske de eerste, tweede en derde vraag goed heeft en de vierde fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{96}{625}\), ze heeft dan 4 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+4)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{96}{625}\cdot (n+4)\)


Uit al het bovenstaande volgt:

\(n=\frac{24}{625}\cdot 4+\frac{1}{5}\cdot (n+1)+\frac{8}{25}\cdot (n+2)+\frac{36}{125}\cdot (n+3)+\frac{96}{625}\cdot (n+4)\)

ofwel (vermenigvuldig links en rechts met 625):

\(625n=24\cdot 4+125(n+1)+200(n+2)+180(n+3)+96(n+4)\)

ofwel

\(625n = 601n + 1545\)

waardoor

\(n = \frac{1545}{24} = \frac{515}{8} = 64.375\)

Wiske zal dus naar verwachting 64.375 vragen moeten beantwoorden om van plaats 5 naar plaats 1 te geraken.

Plaats reactie