5 gelijke stokjes, hoek berekenen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
baby foster
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 10 jan 2023, 17:39

5 gelijke stokjes, hoek berekenen

Bericht door baby foster » 10 jan 2023, 18:29

Je hebt 5 gelijke stokjes waar een afbeelding mee is gemaakt (plaatje zie link hieronder)
De vraag is wat de hoek van de top is van de figuur.
We komen er niet uit.
Help! moet vandaag ingeleverd worden.
Figuur is dus een op zijn kop vlieger boven een driehoek.

https://lens.google.com/search?p=AXAp4w ... p3PT0iXQ==

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 5 gelijke stokjes, hoek berekenen

Bericht door arie » 12 jan 2023, 12:34

Omdat de inlevertermijn inmiddels is verstreken is hier direct een complete oplossing:

Afbeelding

In bovenstaand plaatje zijn de blauwe lijnen (AE, AD, CE, BD en BC) de stokjes.
Ik neem aan dat (net als op jouw foto) de punten A, E en B op één lijn moeten liggen, evenals punten A, D en C.

Gevraagd wordt dan de grootte van de tophoek \(\angle BAC = \alpha\)

Linker driehoek:
Omdat \(\triangle BDA\) gelijkbenig is (\(BD=AD\)) is \(\angle ABD =\angle BAD = \angle BAC = \alpha\)
Zelfde redenatie voor \(\triangle ACE\) levert \(\angle ACE = \alpha\)

Middelste driehoek:
Teken de groene lijnen:
\(AF\) = de hoogtelijn op \(BC\) in gelijkbenige driehoek \(BAC\)
\(ED\)
\(BG\) = de hoogtelijn op \(CD\) in gelijkbenige driehoek \(CBD\)
en bekijk dan de groene driehoeken \(ADH\) en \(BCG\):
\(\angle ADH = \angle GCB = \beta\) wegens F-hoeken (want \(ED \; // \; BC\))
\(\angle AHD = \angle BGC = 90^\circ\)
en dan moet ook (omdat de som van de hoeken in een driehoek = \(180^\circ\)):
\(\angle CBG = \angle DAH = \frac{1}{2} \alpha\)
dus \(\angle CBD = 2 \cdot \angle CBG = \alpha\)
Evenzo:
\(\angle BCE = \alpha\)

Rechter driehoek:
Het resultaat van bovenstaande:
Als de tophoek gelijk is aan \(\alpha\), dan is elk van de twee basishoeken \(\beta\) gelijk aan \(2\alpha\).
Hierdoor is \(\alpha + 2\alpha +2\alpha = 5\alpha = 180^\circ\) en is \(\alpha = 36^\circ\)

Plaats reactie