Wiskundeforum

Hallo,

Is het mogelijk om deze formule te vereenvoudigen?

integrate d from 0 to 2 x. sqrt x^ ln x . sqrt[3] x^ ln^ 2 x. sqrt[4] x^ ln^ 3 x sqrt[5] ... dx

Alvast bedankt.

\(x \cdot \sqrt{ x^{ \ln x}} \cdot \sqrt[3]{ x^ {\ln^2 x}} \cdot \sqrt[4]{ x^{ \ln^ 3 x}} ... \)
\(= x \cdot x^{\frac{1}{2}\ln x} \cdot x^{\frac{1}{3}\ln^2 x}\cdot x^{\frac{1}{4}\ln^3 x} ... \)
\(= x^{(1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\ln x \cdot (1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\frac{1}{1}\ln x + \frac{1}{2}\ln^2 x+\frac{1}{3}\ln^3 x+\frac{1}{4}\ln^4 x ...} \)
\(= e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } \)

Kom je hiermee verder?

Dankjewel
Ik bekijk het morgen.

Ik probeer dit om te zetten naar een getal maar met de calculaters die ik vind kom ik er niet.
Hebben jullie soms een link?

Gebruik dat voor \(\small -1 \le x < 1\) geldt:

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)

en evenzo voor \(\small -1 \le \ln(x) < 1\):

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln x)^n}{n} = -\ln(1-\ln x)\)

Dat geeft:

\( e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } = e^{-\ln(1-\ln x)} =\; \frac{1}{e^{\ln(1-\ln x)}}= \frac{1}{1-\ln x}\)


Voorbeeld:

Kies x=2 (\(\small -1 \le \ln(2) = 0.693147... < 1\) ):
\(\frac{1}{1-\ln x}=\frac{1}{1-\ln 2}=3.25889135327...\)

En hier de benaderingen met de eerste 5, 10, 20, 50 en 100 termen van de sommatie:
\( e^{\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.\;10834745199\)
\( e^{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.2\;4424260692\)
\( e^{\sum_{i=1}^{20} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.258\;68154068\)
\( e^{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135\;175\)
\( e^{\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135327\)

De sommaties kan je bijvoorbeeld uitrekenen via WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=e% ... %2Fi%29%29