Ik kom er niet uit, help!Permutaties en combinaties

[Hans2004]

Je hebt een ruimte voor 4 tegels. Er zijn 8 tegels met twee unieke zijden. Hoeveel verschillende combinaties zijn er mogelijk. Omdat er 8 tegels zijn met 2 unieke zijden kom ik er niet uit. Kan iemand helpen?

[arie]

Eerst de algemene situatie: op hoeveel manieren kan je 4 tegels uit 8 verschillende tegels kiezen?
(combinatie = trekking zonder terugleggen (dus geen herhaling), en de volgorde is niet belangrijk)

In deze vraag: wat bedoelen ze met 2 unieke zijden: een verschillende boven en onderkant?
Maar in een combinatie van k elementen uit een verzameling van n elementen zijn alle n elementen toch verschillend = van elkaar te onderscheiden?
Staat hierover nog wat meer informatie in de vraag (of in een eerdere vraag) ?


Of bedoelen ze geen combinaties, maar het aantal manieren om een straat te betegelen met 4 uit 8 verschillende tegels met ieder bovendien 2 verschillende zijden (dus bijvoorbeeld in totaal 16 verschillende kleuren op 8 tegels)?
In dit laatste geval:
- hoeveel mogelijke keuzes heb je dan voor de eerste kleur in je straat?
- hoeveel voor de tweede kleur
- en de derde en de vierde?
Hoeveel mogelijkheden geeft dat in totaal?

[Hans2004]

Hoi Arie,

Ik heb de specifieke opdracht hieronder gezet. Alvast heel erg bedankt.

Zie hieronder
Het spelbord in deze opdracht is cirkelvorig met vier plaatsen waarop een tegel (in de vorm van een kwartcirkel) gelegd kan worden. Voor het spel is het belangrijk welke tegels er opeenvolgend liggen. Het is echter niet van belang hoe het spelbord op tafel ligt. Het spelbord bijvoorbeeld een kwartslag draaien, verandert niks aan het spel. Bij het spel worden acht verschillende tegels geleverd die op beide zijden uniek bedrukt zijn. (afbeelding 8 tegels met twee zijden mogelijk).

De maker van het spel wil op de doos benadrukken hoeveel verschillende spelborden er mogelijk zijn.
Bereken dit aantal speelborden.

Bij haar ontwerp heeft de maker van het spel nog een aantal opties achter de hand gehouden om de variatie in het spel nog groter te maken. Zo overweegt zij een uitbreiding warbij twee verschillende fiches geplaatst worden op twee aangrenzende kwartcirkels van het bordspel.
Bereken hoeveel keer zoveel mogelijke spelborden een speler met de uitbreiding heeft.
Bedenk zelf een uitbreiding van het spel.

[arie]

[A]
Stel eerst dat het spelbord vast op tafel ligt (= niet gedraaid mag worden), de vier plaatsen N(oord) O(ost) Z(uid) en W(est) zijn, en de 2 kanten van elk van de 8 verschillende tegels hetzelfde zijn.
Voor plaats N hebben we dan keuze uit 8 verschillende tegels,
voor plaats O vervolgens keuze uit 7,
voor plaats Z vervolgens uit 6
en voor plaats W tenslotte kunnen we nog uit 5 tegels kiezen.
Hoeveel verschillende keuzemogelijkheden levert dit in totaal?

[ B]
Omdat de 2 kanten WEL verschillend zijn levert dit per oplossing van [A] steeds extra mogelijkheden:
voor de tegel op N zijn er 2 mogelijkheden om hem neer te leggen,
voor de tegel op O zijn er 2 mogelijkheden om hem neer te leggen,
voor de tegel op Z zijn er 2 mogelijkheden om hem neer te leggen,
en voor de tegel op W zijn er 2 mogelijkheden om hem neer te leggen.
Hoeveel verschillende mogelijkheden levert dit in totaal voor iedere oplossing van [A]?

[C]
Het totaal aantal verschillende indelingen voor een VAST speelbord is dan = (antwoord [A]) * (antwoord [ B]).

[D]
Nu mogen we het bord ook nog in 4 verschillende posities draaien, en die 4 indelingen die we zo te zien krijgen beschouwen we dan als 1 mogelijkheid.
Dan moeten we het aantal mogelijkheden onder [C] dus nog door 4 delen om het eindantwoord te krijgen.

Kom je hiermee verder?

[Hans2004]

Hi Arie,

Als ik het goed begrijp is het dan 8 x 7 x 6 x 5 = 1680
2 x 2 x 2 x 2 =8

1680 x 8 = 13440

13440 / 4 = 3360

Ik hoop dat ik het zo goed begrijp.....

[arie]

Redenering = prima,
maar bij mij is 2 x 2 x 2 x 2 = 16
en dit geeft:
1680 x 16 = 26880
en
26880 / 4 = 6720

Dan onderdeel 2:
Er zijn 4 mogelijkheden om 2 fiches op elk van de mogelijke spelborden van onderdeel 1 te plaatsen:
Noord en Oost
Oost en Zuid
Zuid en West
West en Noord
en omdat de 2 fiches verschillend zijn er voor elk van deze 4 mogelijkheden opnieuw 2 mogelijkheden,
b.v. voor de Noord en Oost plaatsing:
fiche 1 op Noord en fiche 2 op Oost
of
fiche 2 op Noord en fiche 1 op Oost

Hoeveel mogelijkheden zijn er met deze uitbreiding nu in totaal?

[Hans2004]

we hadden al 6720 mogelijkheden.

Er komt bij:
Is dit niet gewoon 4 x 2 =8
2 x 2 =4

8 x 4= 32

6720 + 16 = 6752

Ik krijg het idee dat dit niet klopt . Ik vind het heel lastig

[arie]

In het plaatje hierboven 1 van de 6720 mogelijke oplossingen (inkleuringen) van het spelbord uit onderdeel 1 van de vraag.

Elk van die inkleuringen gaan we nu extra markeren met 2 fiches, in onderstaand plaatje van links naar rechts:
- noord en oost
- oost en zuid
- zuid en west
- west en noord
Bovendien zijn de 2 fiches verschillend: hier een rode en een blauwe. We kunnen eerst de rode neerleggen, dan de blauwe,
of eerst de blauwe en dan de rode:



In totaal zijn er zo 8 verschillende markeringen voor elk van de 6720 mogelijkheden van onderdeel 1,
en dat levert voor onderdeel 2 dus in totaal 6720 * 8 = 53760 verschillende met fiches gemarkeerde inkleuringen.

Het lastige (of verwarrende) is hier dat we het spelbord vrij in 4 posities mogen draaien.
Maar hier hier hadden we bij onderdeel 1 al rekening mee gehouden: daarom waren er daar geen 26880 maar
26880 / 4 = 6720 verschillende inkleuringen.
En elk van die 6720 inkleuringen apart genomen kunnen we op 8 manieren met fiches markeren.

Als we bijvoorbeeld de gemarkeerde inkleuring linksboven in het vorige plaatje bekijken, dan kunnen we dat bord in onderstaande 4 posities draaien, die we nog steeds allemaal gelijk aan elkaar zien en samen maar 1 keer meetellen in het eindantwoord:

[Hans2004]

super bedankt voor de heldere uitleg!

[donald]

hey,

kan iemand onderstaande vraag oplossen?

zoek x, p met x element van natuurlijke getallen zonder nul en p priem zodat:

p^2 (p^3 + 1) = x^2 (x^6 - 1)

merci, donald

[arie]

zie viewtopic.php?f=15&t=15711#p79532