Wiskundeforum

hey,

kan iemand onderstaande vraag oplossen?

zoek x, p met x element van natuurlijke getallen zonder nul en p priem zodat:

p^2 (p^3 + 1) = x^2 (x^6 - 1)

merci, donald

Definieer onder gehele getallen:
\(L = p^2(p^3+1)\) (voor priem p)
\(R = x^2(x^6-1)\) (voor x > 0)

Voor p = 2 is er geen oplossing:
Als p = 2 dan is L = 4*9 = 36
maar:
- als x = 1 dan is R = 0
- als x = 2 dan is R = 4 * 63 > 36
- en voor x>2 wordt R alleen nog maar groter,
Dus: p ≥ 3

Omgekeerd:
Voor x = 1 is R = 0, en is er geen oplossing (want L ≥ 36)
Dus: x ≥ 2
Maar dit betekent dat
\(R = x^2(x^6-1) = x^2(x^3+1)(x^3-1) \ge 7x^2(x^3+1)\)
en als L = R is, dan moet dus gelden:
\(p^2(p^3+1) \ge 7x^2(x^3+1)\)
waardoor p > x moet zijn

Omdat p² een deler is van L, moet p² ook R delen.
p² kan niet x² delen, want dan moet p ≤ x zijn, en we hadden gezien dat p > x is.
Dus moet p² een deler zijn van \(x^6 - 1 = (x^3-1) (x^3+1)\)

p kan niet zowel (x³ - 1) als (x³ + 1) delen,
want dan zou p ook het verschil van deze twee getallen = (x³ + 1) - (x³ - 1) = 2 delen,
terwijl we gezien hadden dat p ≥ 3

Dus ofwel p² deelt (x³ - 1), ofwel p² deelt (x³ + 1)
[1]
(x³ - 1) = (x-1)(x² + x + 1)
p deelt (x-1) niet, want p > x > x-1, dus
p² zou (x² + x + 1) moeten delen.
Maar dit laatste kan ook niet: omdat p > x, is er een a > 0 zodanig dat p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x² + x + 1
[2]
dus p² moet (x³ + 1) delen.
(x³ + 1) = (x+1)(x² - x + 1)
Net als onder [1] deelt p² elk van deze factoren niet: voor onze waarden van p en x is
p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x + 1
en
p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x² - x + 1
Blijft over:
p is een deler van (x+1) EN p is een deler van (x² - x + 1)
Omdat p>x een deler is van (x+1), moet dus gelden p=x+1
En omdat p=x+1 ook een deler moet zijn van (x² - x + 1), moet
\(\frac{x^2-x+1}{p} = \frac{x^2-x+1}{x+1} = x - 2 + \frac{3}{x+1}\) geheel zijn.
Omdat x en 2 geheel zijn, moet \(\frac{3}{x+1}\) dus ook geheel zijn
Dit laatste lukt voor x ≥ 2 alleen als x = 2.

Conclusie:
x = 2 en p = x+1 = 3 is de enige oplossing.


PS: ik heb van je bericht een nieuw onderwerp gemaakt.
Je mag op dit forum zelf ook altijd een nieuw onderwerp starten.